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今回は、数学の「漸化式」について解説をしていきます！
漸化式は色々パターンがあって覚えられないという人や、漸化式の解き方の意味が分からない、解答を読めば、言っていることの意味は分かるけれども、自分では解くことができない、という生徒が多々見られます。
漸化式は難しい分野なので、自分が何に躓いているのかをきちんと把握すること、その上で、どのように漸化式を解くのかの説明をしたいと思います。
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そもそも高校の数学の勉強において大切なこととは？
数学とは意外と自由度が高く見えて、低い学問です。
例えば、メネラウスの定理を問う問題で、どのように考えたら確率の知識が必要になるのでしょうか？どうすれば、an + 1 = -3 an - 8 という漸化式をいきなり積分するなんてことが起こり得るのでしょうか？
使える知識や行うことができる計算は限られています。
この分野では、この解き方を徹底する、この分野ではこの計算を必ず行う、というように、全体を俯瞰して、それぞれの分野の問題に対して、行うべき操作、本質的な操作を頭に入れることが大切です。
分野ごとに解き方を徹底するとは？
たとえば、確率の基本的な解き方は２パターンで、１.場合の数を総数で割ること, 2.確率漸化式です。
他にも、ベクトルでは、一時独立なベクトルを空間なら3個、平面なら2個とることです。
どの問題にも共通する操作を理解することは、受験本番での自分のパニックや焦りの解消にもなってくれます。
漸化式の基本的な操作とは？
漸化式には主に２パターンあります。それぞれによって、解き方が異なります。
階差・等差型と等比型です。この見分け方は簡単です。係数に注目するだけです。
q an+1 = ｐan + f(n)
この係数のｐとｑが同じか異なるかを判断します。基本的にこのパターンを用いて計算を行っていきます。
q an+1 = pan + f(n) の q = ｐの時
ｐとｑが同じとき、これは等差数列、あるいは階差数列の解き方と同じような解き方をします。
はじめにｐでお互いを割って
p = qなので
an + 1 = an + g(n) (: = f(n) をpで割ったもの / ここでは表記の都合上g(n)で表しています。）
この時、
an = a n-1 + g(n-1)
an-1 = an-2 + g(n-2)
an-2 = an-3 + g(n-3)
...
a3 = a 2 + g(2)
a2 = a1 + g(1)
以上より
a n + an-1 + ... + a3 + a 2 = an-1 + an-1 + ... + a2 + a1 + {g(n-1) + g(n-2) + ... + g(2) + g(1)
両辺を整理して
a n = a1 + {g(n-1) + g(n-2) + ... + g(2) + g(1) } = a1 + Σ g(n)
となります。よく見る漸化式の解になっていますね。
p = q の時はとにかくこの解き方を徹底します。
q an+1 = pan + f(n) の q ≠p の時
これは等比数列のようなかたちになるので、等比数列のようにときます（q = h(n) のようなもの、たとえば、an + 1 = (2n + 3) an なども、このパターンに該当します。）
等比数列の場合
an + 1 = pan より
an + 1 an = p
an an-1 an -1 an - 2 an - 2 an - 3 .... a3 a2 a2 a1 = p p p ..... p = pn-1より
an a1 = pn-1
以上より、an ＝ a1 p n -1
では、この解き方を利用して、いくつかの漸化式を解いていきましょう。
具体的な計算➀ an + 1 = -3 an - 8
既に等差数列と等比数列、階差数列の解き方は上に示した通りです。他のパターンについて解いていきましょう。
an + 1 = -3 an - 8
この問題では、-8 が無ければ、等比数列になるので、等比数列の解き方で解くことができます。だから、-8をどのように消すのかを考えます。
実際に他の問題でも、要らない項をどのように消すのかが問題になることがほとんどです。
要らない項の消し方➀
an + 1 = -3 an -8
an = -3 an-1 - 8
この二つを引きます。
an + 1 - an = -3 an - (-3)an-1
ここで、an + 1 - an = bn (ここでは、an+1とanの小さいほうにｎを合わせてください。初項をずらさないために）
とすると、bn = -3 bn-1となり
この漸化式は、等比数列になっているので解くことが出来ます。
要らない項の消し方②
特性方程式を使う（この解き方は多くの参考書にのっていますが、どうして特性方程式を用いるのかをあまり考えたことはないのではないでしょうか？）
an + 1 = -3 an - 8
x = -3 x -8 より, x＝‐２
an + 1 ＋ 2= -3 (an + 2)
an + 2 = bn
とすると、これは、bn = -3 bn-1
となり、これも等比数列になるので、解くことが出来ます。基本的にはこの二つの消し方を駆使して漸化式を解いていきます。
具体的な計算② an + 1 = 2 an - 4n + 5
他のパターンの漸化式についても解いていきましょう。
an + 1 = 2 an - 4n + 5
この場合は、an + 1 とan の係数が異なっているので、これは等比数列を目指して計算をしていきます。
そのためには- 4n + 5の項が邪魔になります。この二つを消していきます。
要らない項の消し方➀
この消し方は上の問題でやったように、
an + 1 = 2 an - 4n + 5
an = 2 an-1 - 4(n-1) + 5
an + 1 - an = 2 an - 4n + 5 - {2 an-1 - 4(n-1) + 5}
an + 1 - an = 2 (an - an-1) - 4
an + 1 - an = bnと置きます（この時に必ずｎとｎ＋１の小さい方に合わせてください。小さい方に合わせないと、a0を考えないといけなくなるからです。ただ、大きいほうに合わせても、a0 を無理やり作ってあげることによって事実上解くことは可能です。）
このようにすると、bn = 2bn-1 - 4, b1 ＝a1 + 1 - a1となり、これは前項で示したように解くことができます。
要らない項の消し方③
an+1 +s(n+1) + t = p(an + s n + t)を目指します。
この時an + s n + t = bn とすると、この式はbn+1 = p bnとでき、等比数列に変形することができます。
ただこの解き方では、連立方程式を立てる分手間がかかります。（an + 1 = an + a n2 + b n + c の時は、n2の項を更に作ってあげると良いです。）
an+1 + s(n+1) +t
= (2 an - 4 n +5) + s (n+1) + t
= 2 an + (s -4) n + (5+s + t)
2 ( an + s n + t)
= 2 an + 2 s n + 2 t
以上から、係数を比較して、
2 t = 5 + s + t
t = 1, s = -4 なのでan+1 -4(n+1) + 1 = 2 ( an -4 n + 1)
以上より、 bn = an -4 n + 1 として、bn+1 = 2 bn
なので、bnを解くことができます。bn = b1 (-2n-1) = (a1 -4 ・1 + 1)(-2n-1)
よってb n = (a1 -4 ・1 + 1)(-2n-1) = an - 4 n + 1、となり、anを移項して解くことができます。
数学はフローチャートのように理解をしていく！
前述したように、数学はまずパターンを作っていき、そのパターンをどのように利用していくのかを考えていきます。
まずは、
➀を計算する→次は②か③か④のどれかで解くことができるから、それぞれを使って解いていく
ことが基本的になります。
そのためにも、闇雲に問題を解くのではなく、普段の問題精講やチャート式などの例題を解く際に、このパターン、あのパターンがあるな、と考えたり、この分野での基本的な操作は何か、と多くの例題をグループ分けしたり、俯瞰してみることが大切になります。
もちろん、それぞれの例題や問題が完璧にこなせる（全く同じ解答が作れる、人に説明できる）ことも大切です。普段から質の高い学習を心掛けていきましょう！
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