【数学】何ができれば点数が取れるようになるか【勉強法】

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逆転合格専門の予備校・個別指導塾の武田塾豊田校です！

今回は、数学を勉強するとき、どの能力を身につけることを目的として勉強すれば点数が上がるかを考察したいと思います。

勉強を始めるとき、どこまで点数を上げるかというゴールを明確にして試験日と自分の実力をもとに逆算して考えればよいわけですが、単にどの順番で参考書を使い、それぞれどれくらいの期間勉強すればいいかを考えればよいというわけではありません。

決めた計画どおりに勉強して、使った参考書の問題を完璧に身に着けたあとで、模擬試験で思うほど結果が出ないときがあります。

原因としては計画の質が不十分であったり、日頃の勉強がこなすだけになっているから、という可能性が考えられます。

（もちろん、しばらくやってみないと判断できない。）

そうした可能性を減らすためには具体的に何ができるようになればよいかを考える必要があると主張したいのです。

まずは、基礎学習として日頃、何を目標に勉強していけば数学の点数が上がるかを3つに分けて考えたいと思います。

数学の勉強で何ができるようになるべきか

教科書の内容=定義・定理とその例がわかる

問題を解く以前に、まずは教科書に書いてある内容がある程度説明できるようにすべきでしょう。

教科書は、言葉の使い方=定義からはじまり、いくつかの定義と仮定から導き出される事実=定理や公式、とその証明、まで書かれており、そのほか定義と定理にまつわるかんたんな例が書かれています。

定義、定理、公式を十分に知らないのであれば、問題やその解説を理解できないことに繋がり、知らない状態で問題演習をしたところで時間の浪費に終わることでしょう。

また、定義、定理、公式の例を知っていたり、図解できることも重要なスキルです。

定義、定理の例

数学A・平面図形の内容です。

（重心の定義）三角形の重心とは、各辺の中線の交点である

※中線の定義も確認してください。

（定理）三角形の重心は、各辺の中線を三角形の頂点側から見て2:1に内分する。

※文献によってはこの定理を重心の定義とすることもあります。

さらに、以上の内容を絵で理解できますか？

定理の証明については、できなくても構いません。

丸暗記の弊害について

公式については、一部丸暗記するするのを避けたほうが良いものがあります。

例えば、数学I・三角関数では sin(180° - x) = sin x などの公式がありますが、これらはx=30° など(45° はやめましょう)の数値を入れて単位円を書いてその都度考えるほうが符号のミスを減らせます。

その他、数学II では２次方程式の解と係数の関係が登場しますが、これもその都度導出すると良いでしょう。x に関する２次方程式の解をl, m とおき、方程式がax^2+bx+c=0 と書かれているとすれば、２次方程式が

a(x-l)(x-m)

と書き直せることを利用し係数を比較すれば関係式を得られます。

こうして考えれば3次方程式の場合に正確に拡張するのも容易です。

すばやく正確に計算ができる・工夫ができる

教科書の内容を上手に理解したり、問題を解き、解説を読みこなすためには計算能力の向上が欠かせません。

素早く正確に計算ができるということを英語学習で例えれば、英文の速読能力と精読能力があることにそれぞれ対応すると考えられます。

素早く正確に計算ができれば、教科書や問題の解説を読んだときに計算で戸惑わずに容易に論理展開を理解することができます。

また問題を解くときでも、計算に気を取られず解法を考えることにリソースを割けるし、数字に対する勘も身につき、答案を訂正するか判断する能力も身につきます。

正確に計算することで、減点をなくせることは言うまでもないことです。

計算力向上も立派な問題解決法

その他、問題を解いているときに、よい解法が思い浮かばなければ計算でゴリ押ししようという勇気も生まれます。

よい解法が出てこなければ、泥臭く計算して答えをだすほかないのですが、それに気づかず手を動かさないかたは多いのです。

それに、解法は突然思いつくものだという誤解が多いですが、プロセスを分析してみれば、かんたんな数値、シチュエーションで検証、観察することから出発しているわけですから、結局いろいろ試せる、試そうと思う計算の力が必要だということです。

典型的な問題解法が言える

※ ここでは典型問題を『チャート式』や『フォーカスゴールド』、『基礎問題精講』等に乗っている問題という意味で使っています。

教科書を理解し、計算練習を行うのと同時に、解法を暗記しましょう。

暗記するとは、本の内容を一字一句覚えることではなく、問題を見た瞬間に解く手順を段階に分けて説明できることを言います。

数学は暗記ではないという人もいますが、よく出題される、昔ながらの問題について、イチから考えるというのは時間の無駄が多すぎると言いたい。

もちろん、最終的には自力で解法をひねり出す能力も身につけることになるし、典型問題でも自分で考えることで問題解決力が上がるという主張には大賛成ですが、我々は有限の時間を生きているということを思い出してください。

さらに、暗記するだけで解けてしまう問題がたくさんあるのに、事前に覚えないのはもったいないと思いませんか？

大学受験で出されるほとんどの問題は複雑長大に見えても、細かく分割していけば、典型問題の解法がそのまま使えるか、ひらめくとまで言わないほどのアレンジで解けます。

教科書理解・計算能力向上・解法暗記で効率向上

以上、基礎学習として教科書の内容がわかる・計算ができる・基本的な解法を覚えることの3つを提案しましたが、この3つは数学を学ぶ上で潤滑油の役割を果たしています。

教科書の内容がわかれば問題や解説が何を言っているかわかるし、計算ができれば問題を解くときに計算に気を取られて解法の全体を掴みそこねることもないし、解答を追うことも容易です。

基本解法がわかっていれば、基本解法をベースに何かを思いつくこともできます。

これらの能力が身につけば、点数を上げることもさることながら、学習効率を向上させる効果も見込めます。

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