【武田塾　豊中校】共通テスト　「情報」　ｎ進数について

皆さんこんにちは、武田塾豊中校です！

今年の共通テストから新たに「情報」が追加されましたね。

今回はそんな情報の中でも最も基本的であるとともに最も重要な分野である、n進数について話していきたいと思います。

ｎ進数は、ＰＣのＩＰアドレスなど実際に利用されております。

特に、２進数、１０進数、１６進数はしっかり理解をしておいた方が良いところになります。

この記事が少しでも皆さんの参考になれば幸いです。

では行きましょう！

n進数とは

ｎ進数とは、ｎ種類の数字を用いた数の表現方法のことです。

例えば、私たちは普段、数を表現するときは、０から９までの、１０種類の数字を使っていますよね。

つまり私たちは普段、１０進数を使っているのです。

私たちは、１０種類の数字だけを用いて、どれだけ大きな数でも、小数でも、あらゆる数値を表すことができています。

１０以外のｎ進数でも、ｎ種類の数字だけを用いて、すべての数を表すことができます。

では、それはどう表すのでしょうか。

１０進数では、１０倍ごとに桁を上げることによって、すべての数を表現することを可能にしています。

それと同じようにｎ進数も、ｎ倍ごとに桁が上がります。

そうやってすべての数を表現することができます。

ここからは、より具体的に、情報の世界でよく使われる２進数、８進数、１６進数について話していきたいと思います。

２進数

２進数では、0と１のみを用いてすべての数を表現します。

先ほども述べたように、ｎ進数では、ｎ倍ごとに桁が上がります。

そのため２進数は２倍ごとに桁が上がります。

具体例を用いて説明すると、

１０進数における０は、２進数でも０,

１０進数における１は、２進数でも１，

しかし、

１０進数における２は、２進数では２を使うことができないので、桁を一つ上げて、１０となります。

１０進数では１０倍ごとに桁が１つ上がるため、１０進数において、下からｎ番目の桁における１は、10^(ｎ-1)を表します。

つまり、下からｎ番目の桁における１の価値は10^(n-1)であるともいえます。

具体例を用いると、353653の６桁目における１の価値は100000つまり、10^5であることが分かると思います。

353653はそれを３個持っているので、300000を持っているといえます。

２進数でも同じように考えてみましょう。

２進数では２倍ごとに桁が１つ上がるため、２進数において、下からｎ番目の桁における１は、2^(n-1)の価値を持っています。

２進数で表された1101110という数字の7桁目における１の価値は６４つまり、2^6であることが分かると思います。

1101110はそれを１個持っているので、６４を持っているといえます。

この考え方は大切なのでしっかり覚えておいてほしいです。

２進数から１０進数

２進数から１０進数にする方法を説明します。

例えば、100010という数字を１０進数にするときは、2^5+2^1=32+2=34となることが分かります。

この計算式を導く際に先ほど説明した考えを使います。

100010は、今６桁目と２桁目に１を持っていることが分かると思います。

６桁目の１は2^5の価値を持っており、２桁目の１は2^1の価値を持っています。

そのため、100010の表す数は、2^5と2^1を合わせた数で、34となります。

１０進数から２進数

１０進数から２進数にする方法を説明します。

例えば、19という数字を２進数にするときは、19=16+2+1=2^4+2^1+2^0となり、２進数で表すと10011となります。

2^4+2^1+2^0を２進数にすると10011となるのは、さっきしたことの逆の操作をしているだけなので簡単だと思います。

19を2^nだけを用いた式に変形させることさえできれば、あとは簡単に２進数に直すことができます。

 

少数の表し方

今までは整数のみを表してきました。

では小数はどのように表すのでしょうか。たとえば、１０進数における0.1は1/10つまり、10^-1と書けます。

0.01は1/100つまり10^-2と書けます。1/10することで桁が１つ下がっていると思います。

つまり、１より小さい世界においても、１０倍すると桁が１つ上がるという法則は成り立ち、10^nのｎは負の数も取り得るといえます。

２進数においても同じように考えると、２進数における0.1は2^-1、つまり1/2を表し、0.01は2^-2つまり1/4を表します。

具体的に考えてみましょう。

２進数における0.01011を、10進数に直すときは2^-2+2^-4+2^-5=1/4+1/16+1/32となります。

nが正の時と同じようにすることができます。

１０進数における0.625を２進数にする時も、

ｎが整数の時と同じように、0.625=0.5+0.125=1/2+1/8=2^-1+2^-3という風に、

0.625を2^nだけを用いた式に変形させると、

２進数にしたときに、0.101となることが簡単にわかると思います。

８進数

８進数は０から７の８種類の数字を使います。

２進数の仕組みが分かっていれば、ほとんど同じなので簡単に理解できるかと思います。

2進数では２倍ごとに桁が上がっていましたね。

８進数では８倍ごとに桁が上がります。

つまり８進数では、下からn番目の桁における１は8^(n-1)の価値を持っています。

具体例を用いて考えてみましょう。

８進数における41703は１０進数では何を表すでしょうか。

２進数と同じ考え方を用いると、8^4×4+8^3×1+8^2×7+8^1×0+8^0×3となります。

２進数と異なるところは、８進数では、０と１だけではなく２～７も使うことができるということです。

そのため、２進数では、その桁に１があるかないかだけを見ればよかったけど、８進数では１が何個あるかまで見る必要があります。

しかし、そこだけ気をつけておけば、あとは簡単です。

次に、１０進数における194を８進数で表してみましょう。

２進数の時と同じ考え方を用いると、194=64×3+8×0+1×2なので、８進数にすると、302となることが分かります。

１６進数

１６進数では、１６種類の数字を使います。

しかし皆さんが知っている数字は０～９までの１０種類だけですよね。

そのため、１６進数では、０～９までの１０種類の数字に加えて、A～Fまでの６種類の文字を使います。

この時、Aは１０、Bは１１、Cは１２、Dは１３、Eは１４、Fは１５を表しています。

文字が増えて少しややこしくなったと思われますが、考え方は２進数と同じです。

１６進数では１６倍されるごとに桁が一つ上がります。

つまり１６進数では、下からｎ番目の桁における１は16^(n-1)の価値を持っています。

具体例を用いて考えてみましょう。

１６進数におけるA7438Bは、１０進数では何を表すでしょうか。

２進数と同じ考え方を用いると、16^5×10+16^4×7+16^3×4+16^2×3+16^1×8+16^0×11となります。

文字が使われていてややこしそうに見えますが、他は２進数や８進数の時と同じなので、落ち着いて考えれば簡単です。

次に１０進数における2718を１６進数を用いて表してみましょう。

２進数の時と同じ考え方を用いると、2718=256×10+16×9+1^14なので、１０進数にすると、A9Eとなることが分かります。

まとめ

今回はｎ進数について話しました。

ｎ進数は、問題をたくさん解いていく中で扱いに慣れていきます。

皆さんも、このブログを読んだだけでは、まだ、ｎ進数の扱いを完全に理解できたとは言えません。

ぜひこれからｎ進数に関する様々な問題を解き、解いていく中で自分の中での理解を深めていってくれたらいいなと思います。

最後までご覧いただきありがとうございました。

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