「京都大学の理系数学対策はどうしたらいいのか知りたい！」
「現時点で合格圏外、E判定でも京都大学に合格する方法を教えてほしい！」
この記事はそんな方へ向けて書いています。
こんにちは！武田塾大津石山校です。
今回は京都大合格を左右する理系数学を
徹底解説していこうと思います！
武田塾では、
日本で出版されている全ての参考書を分析し、
京都大学の過去問分析を積み重ねて、
たくさんの生徒と共に、
逆転合格を掴み取ってきました。
そんな武田塾だからこそ提供できる
京都大学の合格に向けた対策を
紹介できればと思います。
現役の大学生である彼らの
2021年入試の理系数学徹底分析！
是非ご一読ください。
あなたの京都大学合格への
一助となれば幸いです。
京都大学理系数学の出題傾向と目標点数
【共通テスト数学】
京大理系志望者であればセンター数学は90~95%は確実に取りたいところです。
【二次試験数学】
医学部医学科を除き、一般的には50~60%が京大理系数学の得点率の目安だと言われていますが、
数学は他教科より難易度の変動幅が大きい教科です。
それぞれの大問の難易度等は後述しますが、今年の問題のセットを見ると、
大問4~5問＋部分点のような点の取り方で合格している受験生が多かったと推測できます。
これもあくまで参考程度に考えた上で、自分の得意科目等を勘案して目標点数を定めましょう。
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2021年度 第1問
小問集合問題です。京大理系数学には珍しいタイプの問題です。
(1)と(2)で全くジャンルの違う問題です。
(1)では、空間における対称な点の座標を求めることを要求されています。
平面に置き換えれば非常になじみ深い問題であることが分かります。
京大受験者でなくとも誰しもが一度は触れたことのある問題ではないでしょうか。
難易度は高くないので、
式操作をいつもより丁寧に行い確実に点を取りにいきたいところです。
(2)ではnの絡む確率が問われています。
京大数学では、
場合の数・確率に関する問題の難易度が
非常に高くなる傾向にありますが、
この問題の構造は比較的単純で掴みやすいと言えるでしょう。
「赤玉がn回目で初めて記録され、4色すべてが記録済みとなる」
この日本語をどう読み取るかが鍵です。
(n-1)回目までで赤以外の3色いずれかが記録されていたと考えれば、
その余事象は、(n-1)回目までで
①2色しか記録していない
②1色しか記録していない
の2つの場合で簡潔に表現できることが分かります。
このポイントに気づくことができれば容易に確率を求めることが可能です。
この問題も合格者の多くが完答することができているのではないでしょうか。
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2021年 第2問
曲線の長さに関する問題です。
扱われているシチュエーション自体は非常にイメージしやすく、
関数も単純です。
接点Pと、接線とx軸の共有点Qを結ぶ線分PQの長さLの取りうる値を要求されていますが、
これは、Lを別の変数の関数で表現し
その最大値・最小値を考えることと同じです。
素直にPの座標を設定し、Lの関数を導出し、
丁寧に処理しましょう。
問題の構造は非常に明快で分かりやすく、方針もすぐに立つ上、
難解な関数を扱うわけではないことを踏まえると、
この問題も京大受験者なら確実に得点して欲しいです。
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2021年 第3問
三角関数が絡んだ無限級数の処理に関する問題です。
cosの絡んだ無限級数に触れたことのある人はあまりいないと思います。
一見非常に難しいように見えるかもしれません。
しかし、cos(nπ/6)の形からドモアブルの定理を連想することができれば、
同様にsin(nπ/6)を考えることによって、糸口が見えてきます。
ドモアブルが見えてこなければ、素直にシグマを展開し、
三角関数の周期性に注目して式を整理する方針も考えられそうです。
その過程の計算処理の煩雑さを考えると難易度は低くはないでしょう。
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2021年 第4問
曲線の長さに関する問題です。第2問とテーマが重複しています。
曲線の長さの導出し素直に式を処理することができれば点につながる問題です。
途中で1/(cosx)の積分が登場しますが、
これもおそらく京大受験者であれば一度は触れたことのある計算ではないでしょうか。
しかし、本番の緊張感の中でミスなく処理するのは容易ではありません。
推測にすぎませんが、この大問の配点のうち計算結果が占める部分がかなり大きいと思われます。
2021年 第5問
図形と軌跡に関するテーマです。小問2題構成です。
2017年第4問と同様のテーマ・問題構成であり、
それぞれの小問の難易度もよく似ています。
(1)は外心の定義について理解できていればスムーズに解き進めることを踏まえると、
確実に得点したい問題と言えるでしょう。
(2)では、(1)の結果から得る考察をうまく活用する必要があります。
∠BACが定数値をとるという条件から円周角の性質を連想できれば、
(1)の外心を中心とした円を描くことが想像できます。
いきなり数式だけで処理しようと試みた人は苦戦したのではないでしょうか。
難易度としてはそこまで高くはないと言えます。
2021年 第6問
再び小問集合です。
(1)は整数に関する証明、(2)は一般的な数式に関する証明です。
(1)は近年の京大に多い素数絡みの証明問題です。
素直に(3^n-2^n)を素数として証明を始めても差し支えはないと思いますが、
多項式が素数であることを数式で表現するのは難しいです。
そのため対偶を考えることで、nが素数であることを利用して、
シンプルな処理を行うことができます。
発想自体は突飛なわけではないので、難易度もさほど高くはありません。
(2)は非常に京大らしい抽象的な証明問題です。
「原点を通りy=f(x)に接する直線が存在する」ことを証明することが要求されています。
この要求を数式に落とし込み処理していけば良さそうです。
ただ、その過程で登場する数式をどう扱えばよいか悩み、
ペンが止まってしまう人が多そうですね。
新たな関数を定義しその微分を考えることによって証明を進めるとうまくいくようですが、
正直かなり難易度は高いです。
本番ではこの問題にはほとんど手をつけることができなかった受験生も多いのではないでしょうか。
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対策とまとめ
京都大理系数学対策の参考書(基礎編)
具体的な参考書の名前を挙げると、
『数学I・A 基礎問題精講』『数学II・B 基礎問題精講』
『新課程 数学III基礎問題精講』
を完璧にするとよいでしょう。
学校での予習や定期テスト勉強、塾や予備校での宿題は完璧にこなし、
基礎を抜け目ない状態にすることが京大理系数学攻略の必要条件です。
京大理系数学を解くには、圧倒的なセンスと類まれなる計算処理速度が必要だと思われる
方が多いと思いますが、決してそんなことはありません。
基礎を徹底し、土台を分厚くしてからひたすら過去問を解き対策を重ねることで、
十分対応本番でも合格最低点をクリアすることが可能です。
(※筆者は毎年京大と東大の二次試験の問題をいくつか解きますが、
京大の問題はそれなりに解くことができても、
正直東大の問題は歯が立ちません。(笑)
おそらく数学のセンスがあって得意な人なら、
どちらの大学の問題もある程度太刀打ちできるのだと思います。)
京都大理系数学対策の参考書(発展編)
さて、実際に過去問を解くフェーズに入った後どう対策をすればよいのかについてお話します。
この時期からは各分野を極めると同時に、いかに分野横断的な対策も講じることができるか
どうかがポイントです。
これまでは明確に単元・分野が分かれていましたが、本番の問題にはそんなヒントは書かれていません。
特に京大理系数学は様々な分野からのアプローチが可能であることが多く、
どの方針で解き進めれば最短ルートをたどることができるのかが見えにくい問題が多いです。
例を挙げると、平面図形に関する問題の解き方として一般には
①ベクトル②座標平面③初等幾何的な処理④複素数平面
などこんなにもたくさんの解法があります。(もちろんケースバイケースですが)
実際見かけは複素数に関する問題なのに、
解き進めると常用対数の処理をさせられているような問題も出題されています。(京大理系2019年第6問)
このような問題に直面した時に苦手分野があると、解答の道筋が見えづらく
自分の解答に自信が持てなくなり、不用意なミスが増えてしまいます。
そういう意味でも苦手分野を完全になくすことは必須ですし、
その上で複数分野にまたがる問題に慣れることも必要です。
各論的な対策は『理系数学 入試の核心 標準編 改訂版』、
複数分野に横ぐしを挿す意識を養うためには『やさしい理系数学』・実際の京大理系数学の過去問
をこなすとよいでしょう。
過去問に取り組む際は、以下の2点を意識してください。
①時間を正確に計り本番を想定して解く ②大問ごとに解かない
過去問演習の一番の目的は、本番と同じ時間・同じ緊張感で本番に最も近い問題を解くということにあります。
時間を定めて本気で取り組んだ上で解けなかった問題は今の自分の明確な弱点です。
復習も普段扱う問題集より丁寧に行いましょう。
『京大の理系数学２５カ年』のような問題集では、大問ごとに問題が羅列されています。
もちろん大問ごとに解いても力は付きますが、できれば一年分まとめて解きましょう。
あくまで本番では複数の大問がセットで登場します。
難問が複数題出題されても、その分他の大問は比較的解きやすいかもしれません。
大問ごとに解いてしまうと、そうした情報抜きに挑むことになるので、
本番の状態と乖離してしまい、効果が薄れてしまいます。
大問ごとに時間をかけて丁寧に解くことももちろん重要です。
ですが、少なくとも２、３年分を本番直前にこなせるようにはしておきたいです。
もし『京大の理系数学２５カ年』などの問題集で過去問のほとんどを終えてしまった場合、
過去の京大模試の問題を解くと非常に良い練習になると思います。
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