【偏差値アップ講座整数問題】～京都大学数学解法プロセス～

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今回は
【偏差値アップ講座整数問題】
～京都大学数学解法プロセス～
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京都大学の数学

前回の
【偏差値アップ講座】
～京都大学理系数学の解法プロセス～
でも述べました。

京都大学の数学は難しくない？
答えは「Yes」

今回扱う問題は有名な問題で
知っている方もおられるかも知れませんが、
整数問題解法の基本を忠実に再現している問題のため
手ほどきをしようかと思います。
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整数問題解法

整数問題という単元は
【土台の難易度が高くなく、応用を効かせやすい】
という特色が有ります。

しかし、解法が無限に存在する訳ではなく
･解が無限に有るのではなく、絞り込んで解に辿り着く
→問題文の条件から絞り込む
→絞り込むために自分で不等式を作る

･題意を満たすものを場合分けをして考える
→それぞれの場合において、解を導く

など、問題形式に応じてやることがある程度限定されています。
上位校の問題はパッと見は難しそうに見えますが
「その問題に適した解法を探るために検討する」
という意識から入っていけば、まず解けない問題はありません。
この意識で普段から演習量を積めばいいんです。
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京大整数問題

≪東大･京大の整数問題≫
･素数をからめてくる傾向が強い
･〇〇を全て求めよと問いかけてくる
･答えはシンプル
･解法は場合分けを必須とする
(整数問題全てそうですが)
･論理を組み立てる
(式で解く意識を最初は捨てておく)

◆問題◆

p^q+q^p=素数
となる素数(p,q)の組を全て求めよ
(京都大)

◆解く前に◆

まず、目の付け所を以下に
･(p,q)は素数
･二つの整数(自然数)を足して素数
→ 足した数は1とその数以外
約数を持ってはいけない
→ 1とその数以外素因数を持たない
→ modでも使ってみようかな

この問題は容易です
(何故京大でこんな問題を出したのか理解に苦しみます)

以下、考察します。
aaaa

◆解法プロセス◆

では、少しずつ紐解いてみましょう。
再度、皆様にはっきりと言いたいことがあります。
大学の名前で"難しい"と決め付けるのは今日で終わりにしましょう。
･問題の解き方
･それに繋がる日々の勉強
突き詰めるのはこの2点のみ
どこの大学であろうが大したことはありません。

◆方針①◆

先程、"目の付け所"で
足して素数
ここです。
方針としては
･二つの整数(自然数)を足して素数
→ 足した数は1とその数以外
約数を持ってはいけない
→ 1とその数以外素因数を持たない
→2,3,5,…何で割り切れてもダメ
→ modでも使って検討しようかな
(mod(2)、mod(3),…)
……
頭の中で何かの理論はありますよね？
それを具現化するんです。
いきなりできないなら
↓
分かる範囲だけでも具現化する
これが難関と言われる数学を解く一つのコツです

では、続き
↓
逆を言えば
足して素因数を持つのはダメ
これに該当する一番簡単な例は
偶数(2の倍数)です。
(題意に反する一番簡単な例を挙げる)
↓
足して素数になる具体例を挙げてみる
･両方とも奇数 ……Ⅰ
･両方とも偶数 ……Ⅱ
Ⅰ,Ⅱそれぞれの場合について偶数となるのは
Ⅰ:(p,q)が共に奇数
Ⅱ:(p,q)が共に偶数
↓
少なくとも題意を満たすには
(p,q)の内、
片方が偶数(必然的にもう片方は奇数)
↓
素数で偶数は2しかないので
(p,q)の内、片方=2
この問題の場合、
初期の方針でここまで分かってしまいます。
これが、「この問題は容易です」と述べた根拠です。
bbb
※私が解いたものです。
見えにくいと思いますがご勘弁を

◆方針②◆

先程の◆方針①◆の項で
"この問題の結末"が読めた方は
解答を書きながら続きを考えてみてください。

まだ結末が見えない方は
もう少し考えてから解答用紙に記入してもOKです。

個人差もありますが、
国立2次の場合、最終的な解答に至るまでのプロセスが長い。
全部解いてから解答用紙に記入する方は少ないと思いますが、
途中･途中で記入しながら解いていくと
消しゴムで消して書き直す回数が減るからです。
(検討段階では問題用紙の余白or計算用紙に書く)

では、もう少し考えてみましょう

◆方針②◆
方針①で
「足して偶数(2の倍数)を探すことで解の絞り込みができた」
2は最も小さい素数です。
……
次に小さい素数(3)の倍数になるのはどのような場合か
↓
･2,3、…と小さい素数から順に検討する
･これを無限に繰り返さずとも、
2つか3つ見れば全体の傾向が掴める(ここ大事です)
(具体例から全体を掴む:帰納的な思考です)
↓
3の倍数になるかどうかを検討

◆3の倍数になるかを検討◆

(p,q)の内、片方は2
かつ、与式には対象性があるため、
今はP=2としておく
(勿論、q=2でも可)
↓
p^2+2^q=3の倍数となるqを探す。

≪ポイント≫
p^2と2^qを別々に見る
結果、3の倍数になるかどうか
↓
◆方針①◆
modでも使ってみようかな
がここで出てきます。

ここまでくればもう解けたようなものです。

◆解く◆

この段階までくると
ほぼ仕留めにかかっています

≪試験会場にて≫
ある段階まで検討して、ゴールが見えてきたら
「一気に解答用紙に書きながら解く」
これも、試験時間を有効に使うコツです。

では、解きましょう。

mod(3) p^2≡0,1
(ⅰ) qが3の倍数、即ち3の時は0
(ⅱ) qが3でない時は1

mod(3) 2^q

これらの和が3の倍数となれば
それは素数ではない。
↓
これで答えは出るだろう

mod(3) 2^q
あとはこれをどう処理するかです。
私は二項展開を使いました。

【二項展開を使う理由】
※実はこの時点で題意を満たす解(組)は
(p,q)=(2,3)のみという見当がついており、
(ⅱ)の場合は二項展開の結果が2となるのであろう。
mod(3) p^2≡1より、足せば3になるであろう
と見当が付いているためです。
※ 2次数学においてこのように"見当が付く"というのも
一つの要素です。
但し、"思い込み"に繋がるリスクがあるため
「違う可能性もある」というのを常に残しておいてください。

はい、解きます

(ⅰ)の場合
(p,q)=(2,3)となり題意を満たす。

(ⅱ)の場合
mod(3) 2^q
= mod(3) (3-1)^q
※なぜ、こんな式変形をするのか確認しましょう
↓
二項展開すれば、
最後の項以外は3が最低1つは出る
↓
3の倍数
↓
最後の項のみ3の倍数かどうかを検討すれば良い
"なんのために式変形するか"は常に意識してください。

つづき
mod(3) (3-1)^q
= qCq[3^q･(-1)^0]+qC1[3^(q-1)･(-1)^1]+qC2[3^(q-2)･(-1)^2]
+……+qC1[3^1･(-1)^(q-1)]+qC0[3^0･(-1)^q]

=qC0[3^0･(-1)^q]
=(-1)^q
qは奇数なので
(-1)^q≡-1=2
(3で割って-1余る
→3で割って2余るのと同じ)

よって
mod(3) [2^q+q^2]≡2+1=3
つまり、3の倍数であることが分かります。
kkk
【二項展開を使う理由】
で述べた見当通りでした。
※ある程度演習を積まないと見当は付きにくいかも知れません。
↓
そういうときは…
･合同式以外で「3の倍数」の見当の方法を探す
(私は出てきませんでした。ごめんなさい)
･再度問題文に戻って、根本的に方針を変える