【受験】数学公式の証明・導出まとめ一覧
なぜ公式を導出するのか？
「使い方が分かっていれば暗記で良くないか？」
と思う人がいるかもしれません。
実際そういう側面もあると思います。
少なくとも、巷で言われる
「公式の導出ができれば暗記の必要がなくなる！」
は嘘です。
試験という正確性と速さの問われる世界で公式の暗記は必須です。
しかし、公式が一発で適応できない問題や、
公式の導出の過程が背景となる問題も多いです。
そのため、レベルの高い大学を目指すほど、
公式の導出を通して問題の解き方を学ぶ必要があります！
では具体的に公式を丸暗記するメリットと、
公式を導出するメリットをそれぞれ考えてみましょう。
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公式を丸暗記するメリット
公式を丸暗記するメリット1：圧倒的な時間短縮
複雑な公式になればなるほど丸暗記するメリットは大きくなります。
例えば、三倍角の公式は慣れても導出に30秒はかかると思います。
その30秒を短縮できるというのは試験本番において大きなリードになります。
公式を丸暗記するメリット2：得点に繋がりやすい
英語や日本史などの文系科目に比べ、数学は暗記事項が圧倒的に少ないです。
例えば、日本史の用語を100個覚えても点数アップへの貢献は微々たるものです。
しかし、数学の公式を100個覚えれば共通テスト程度までなら大きく得点につながります。
まあ、100個もないんですけどね(爆笑)。
公式を丸暗記するメリット3：問題の見通しがよくなる
これは意外と知られていないメリットです。
公式を丸暗記しているとその1手先まで考えることができます。
また三倍角の公式を例に挙げますが、これを丸暗記していれば、
より、sin3x が sinx を因数として持つことが瞬時に分かり、
問題を解く時の方針が立ちやすくなります。
実はこれが一番のメリットかもしれません。
公式を導出するメリット
公式を導出するメリット1：応用問題にも対応できる
当たり前ですが、公式を覚えているだけでは応用問題を解くことはできません。
例えば、三倍角の公式を丸暗記しているだけでは四倍角の公式は導出できません。
しかし、導出方法(加法定理)を理解していれば四倍角にも対応できるでしょう。
公式を導出するメリット2：計算に慣れる
公式の導出や証明には、より基本的な公式や手法を用いることが多いです。
そのため、公式の導出を行うこと自体が非常に重要な数学の訓練です。
公式を導出するメリット3：検算に使える
導出の仕方がわかっていれば剣山を行えます。
例えば、係数の符号などを間違えて暗記していても、導出をすれば間違っているかどうかがすぐにわかります。
これにより丸暗記に比べて問題の正答率が大幅に上がります。
丸暗記と導出のメリットを見てきました。
「公式を丸暗記するのはよくない」
「時間短縮のために全部の公式を完璧に覚える」
このどちらも極端で危険な考えです。
もちろん実戦では両方のいいとこ取りをすれば良いです。
少なくとも高１、高2の間は基本的に毎回導出をするようにしましょう！
全ての公式の導出方法を理解して素早く導出できるようになるのが前提でその後「丸暗記」をする事で、公式を正しく運用することができます。
どのレベルを志望する場合公式の導出が必要なの？
・理系(国公立、早慶レベル)：
当然必須。基礎なくして応用なしです。導出ができるレベルに公式を理解している前提で問題が作られています。
・理系(MARCH レベル)：
英語が苦手で理数による得点カバーしないといけないレベルなら必須。それ以外なら暗記ごり押しでもいけるかも。
・東大文系：
当然必須。数学できないので社会と英語でカバーしますは甘え。東大文系数学80点中30点は最低でも取りましょう。
公式とその導出を学ぶ重要度まとめ
数I
★☆☆：二次関数の解の公式
★★☆：正弦定理
★★☆：余弦定理
数A
★★★：二項定理
★☆☆：中線定理
★★☆：チェバの定理
★★☆：メネラウスの定理
数II
★☆☆：剰余の定理
★★★：点と直線の距離の公式
★★★：加法定理
★★☆：二倍角・半角の公式
★★☆：三倍角の公式
★★☆：1/6公式
数B
★★★：等差・等比・階差数列の一般項
★☆☆：二乗和・三乗和の公式
★★☆：三角形の面積
数III
★★☆：無限等比級数
★☆☆：種々の関数の微分・積分
★★★：平均値の定理
入試問題にもなった公式の導出
1999年の東京大学で出題された数学の問題は、受験界に大きな波紋を呼びました（引用）。
(1) 一般角に対して の定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義にもとづき, 一般角 に対して
を証明せよ。
というものです。
加法定理の導出、という数学IIの教科書の内容がそのまま
天下の東京大学で出題されたのです。
これは公式暗記やテクニックに偏重した受験業界への警鐘とも言われています。
それ以外にも、
平面において, 点 と直線 の距離は
である。これを証明せよ。[2013 大阪大・文系]
三角関数の極限に関する公式
を証明することにより, の関数が であることを証明せよ。[2013 大阪大・理系]
など、公式の証明が難関大学の入試問題として登場することがあります。
もちろん、ここまで直接的でなくてもこのような出題は多く、
公式の導出方法を理解しているということ自体が得点へと直結しています。
実際に公式を導出した例を見てみましょう。
三角関数の加法定理
左図のような単位円と、その中に含まれる△OPQを考える。
とすると、辺PQの長さは
また、余弦定理から
従って
となる。
より
点と直線の距離の公式
この公式の導出は方法が様々あり、式と図形の理解度の確認の為によく用いられます。
直線lの式
を変形すると
となるので、傾きはである。
点Aを通りlに垂直な直線Lの傾きは
となり、点H (xh, yh)はlとLの交点であるので
従って、線分AHの距離は
以上
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