数学Ⅲの内容や難易度を徹底解説！勉強のコツを紹介
こんにちは。
授業をしないでおなじみの武田塾小田原校です！
今回は、数学ⅠA・ⅡB・Ⅲの各単元について、特徴・難易度・勉強のコツを紹介する記事の第三弾で、数学Ⅲの内容について解説していきます。
多くの理系受験生が学習する必要のある数学Ⅲは、これまでに学習した数学ⅠAやⅡBとは、やや考え方の異なる部分があります。
これまでに解説したⅠAとⅡBの記事と比較して読むようにすると、より一層理解が進むでしょう。
数学Ⅲ
複素平面
数学Ⅱで少しだけ触れた複素数を対象として、さらに発展的な内容を学ぶのが数学Ⅲの複素平面の分野です。
実数部分と虚数部分に数を分割し、それぞれを平面に表すことで、xy平面上でこれまでに学習した内容を反映させたり、ベクトルの考え方を応用したりすることが可能となります。
専門的な内容は大学に進学した後に学ぶ線形代数で出てきますが、座標上のある点を、原点を中心にして一定の角度で回転させたり、原点からの距離を一定の値だけ拡大したりすることで、様々な考察をしようというのが高校数学で学ぶ複素平面の概観です。
学習のポイントとしては、共役複素数に関する公式や、ドモアブルの定理等をスムーズに使いこなせるようにすることが挙げられます。
複素平面の厄介なところは、あまり他の分野の知識を使った別解を考えることができない点です。
幾何の考え方に関連させることができる場合もありますが、基本的には、この分野で登場する問題に関しては、複素数に特有の考え方を用いて解答するのだと思って学習した方が良いです。
それゆえに苦手な受験生の多い分野ではありますが、出題頻度はそれなりに高いので、自分が志望する大学で出題される傾向があるのであれば、早めに対策しておく必要があると言えるでしょう。
式と曲線
式と曲線の分野では、二次曲線と呼ばれる特別な式と極座標について学びます。
また、曲線の媒介変数表示という概念も出てきますが、これは、微分・積分との関連問題が多く出題される範囲になるので、しっかりと覚えておく必要があります。
二次曲線の入試での出題頻度は極めて低いですが、最低でも、楕円と双曲線の定義は頭に入れておいた方が良いです。
入試問題では、幾何や軌跡の問題の中で、異なる点の間の距離を考えるものが多くあり、楕円や双曲線の考え方を知っていると、それだけで解答の方針が立てやすくなる場合があるからです。
逆に、楕円や双曲線に関する知識をダイレクトに使って解答していくような問題は少ないので、数学にかけられる時間が限られている場合は、後回しにしても良い単元だとも言えます。
関数と極限
関数の項目では、いくつかの新出の関数の特徴やグラフの概形について学びます。
グラフに関係する問題では、式を見たときに、なんとなくでもその形がイメージできると解答しやすくなるので、ここで学習するような基本的な関数に関しては、理解を深めておくと良いです。
極限では、ある変数を無限に大きく（小さく）したり、0に近づけていったりした場合に、値がどのように変化していくのかについて学習します。
極限に関しては、それ自体が独立した単元として出題されるというよりは、その他の単元との融合問題として出題されることが一般的です。
例としては、数列を無限に大きくした場合にどのような値に収束するかや、試行回数を無限に増やした場合に確率がどのように変化するかを問うような問題が挙げられます。
また、積分で求めた面積に関する極限を求める問題も頻出です。
極限を学習する際は、基本的な公式の導出方法を完璧に理解することと、値の変化をグラフと比べながら考えられるようにすることがポイントになります。
特に、グラフの概形を描かせる問題においては、グラフの端がどのような挙動を取るのかについてしっかりと議論する必要がある場合が多いので、疎かにしないようにしましょう。
公式を覚えるだけならば難易度は低いですが、複数の分野と関連する融合問題に的確に答えられる実力をつけることまで考えると、難易度はかなり高い分野であると言えそうです。
微分法
数学Ⅱで学習した微分法では、整式（xの◯◯乗といったもの）の微分しか登場ませんが、数学Ⅲの微分法では、これまでに学習した関数の全てを微分することになります。
最終的には、たくさん計算をする中で、個々の関数を微分した形が瞬時に分かるようになるのですが、初期段階においては、微分の定義を思い出しながら、自分で公式を導出する練習をしてみると良いでしょう。
個人的には、数学Ⅲで微分を学ぶことの受験における意味合いは、グラフの概形を描けるようになることだと思っています。
グラフの概形を描くことで、その関数がx軸と共有点を持つのかどうかが分かったり、異なる2つの関数の大小を比べたりすることが可能となります。
入試問題においても、グラフを描いてから考察することが必要となるものが頻出なので、数式を操作する計算力とともに、グラフの形を常にイメージする力も養うようにすると良いでしょう。
また、数学Ⅲで習う微分法の知識を使うことで、数学ⅠAやⅡBの知識だけでは苦戦するような大小評価問題を簡単に解くことができるようになるので、そのような問題に遭遇した場合は、別解を常に考えるようにすると、実力を向上させることができます。
積分法
高校数学では、積分の操作は微分の操作の逆と習うので、基本的には、微分法の分野がしっかりと学習できていれば、計算ではそこまでつまずくことはないです。
数学Ⅱで学習した積分と異なるのは、複雑な関数を積分するための手段として、置換積分や部分積分という考え方が出てくる点です。
しかしながら、これらは利用するパターンが限られているので、しっかりと計算練習を積めば、それほど恐れることはないです。
数学Ⅲの積分の中で一番難しいと思われるのは、体積を求めるタイプの問題です。
基本的な考え方は面積を求める場合と同じなのですが、問題ごとに工夫が必要なことが多いため、問題の急所を見抜くセンスを養うことを意識した学習が必要となります。
具体的な方法として、まずは基本的な問題を解説を見ながらで良いので一通り解いて完璧にし、それから発展的な内容に時間をかけて取り組むことが挙げられます。
発展的な問題を解く際にもすぐに答えを見てしまうと、発想力を鍛えることができなくなってしまうので、その点は注意が必要です。
数学Ⅱと比べると、数学Ⅲで学ぶ積分法の総合的な難易度は高めと言えると思います。
【まとめ】数学Ⅲの内容や難易度、勉強のコツ
数学Ⅲでは、これまでに数学ⅠAやⅡBで学習した考え方をさらに拡張しようと試みるものが多い印象です。
それだけ覚えることは多くなりますが、数学ⅠAやⅡBと比べると問題のパターンが一定なので、対策をすればしただけ点数を稼ぎやすくなるという性質があります。
理系学部の入試問題では、数学Ⅲの範囲からの出題が複数になることがほとんどなので、数学で得点したいと考えるのであれば、絶対に疎かにできない範囲だと言えるでしょう。
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