はじめに
こんにちは！武田塾京都校講師K.F.です。これまでに引き続き数学の勉強法について紹介していきたいと思います。
今日の単元は数学Ⅰの 集合と論理 です。
集合と論理を勉強していく上でのポイント
1番大事なこと
この単元を学習する上で僕が1番大切だと思っていることは、ずばり 手を動かして考える ことです！
正直に言うと手を動かすことの大切さは集合と論理に限った話ではなく、数学の勉強すべてにおいて言えることなのですが、この単元では特に手を動かして考えることが重要だと思います。
集合と論理の問題は、問題文を読んで頭の中で考えているだけでは問題の状況を十分に理解できないことが多々あります。しかし、手を動かして図・グラフ等を書き、状況を整理しつつ、問題を解こうとしてみると不思議なことに難しそうな問題でも意外とすんなり問題の状況を理解できて、簡単に問題が解けてしまったりすることもあります。
集合
集合の問題に取りかかる前に必ず確認して欲しいのは、「集合に対して使う記号の正確な意味とその記号の表す状況をベン図になおしたらどうなるのか」ということです。これらが完璧にできないままの人は集合の問題を解く資格すら持っていません！
集合の考えは、様々な単元の問題と組み合わされて大学受験で出題されます。「かつ」「または」といった概念を十分に理解してこれからの数学の学習に励んでいきましょう。
命題の真偽
まず皆さん、「命題とは何か」と聞かれて答える事が出来ますか？
命題とは、かみくだいて説明すると真・偽（正しいか、正しくないか）をはっきりと判断することができる文や式のことを言います。このことをしっかりと理解しておきましょう。
こういった定義や公式の証明など教科書に載っている基礎・基本は数学にある程度自信を持っている人に限っておろそかにしがちではあります。しかし、数学が本当にできる人は、こういった基礎・基本を徹底しており、抜けが無いです。小手先のテクニックでは、どう対処のしようもないような難問に出会った時は、がっちりと固めた基礎・基本に立ち返る事が非常に重要です。
否定的な表現を含んだ条件や結論など命題そのままの文や式だと真か偽か判断することの難しい場合は、対偶をとって考えましょう。
対偶とは元の命題の条件と結論を否定したうえで、条件の部分を結論に、結論の部分を条件にひっくり返してできた命題のことです。たとえば「ｐならばｑ」の対偶は「qではないならばpではない」です。また不思議なことに、対偶の真偽は、命題の真偽と一致するのです！
必要条件と十分条件
まず必要条件・十分条件・必要十分条件の区別について説明します。
ｐならばｑが偽、ｑならばｐが真のとき ｐはｑであるための必要条件であるという。
ｐならばｑが真、ｑならばｐが偽のとき ｐはｑであるための十分条件であるという。
ｐならばｑが真、ｑならばｐも真のとき ｐはｑであるための必要十分条件であるという。
これは、どの参考書にも載っていることなので、ここでは分かりやすく具体例で書き表していきたいと思います。
例えば上の例におけるpを「動物である」とqを「猿である」として考えます。
『p:「動物である」ならばq:「猿である」』という命題は反例として猿を除く犬などと言ったたくさんの動物があげられるので偽であると言えます。
次に『q:「猿である」ならばp:「動物である」』という命題は猿は全て動物なので真であると言えます。
従ってpならばqが偽で、qならばpが真であるので、上の表よりp「動物である」ことはq「猿である」ための必要条件だということができます。
どうでしょうか？一見難しそうにも見えますが具体例で考えてみると意外と簡単じゃないですか?
数学において抽象的で難しい概念を考える時は具体化して考える癖をつけておきましょう！
本格的に入試問題を解いていくにあたって、必要条件と十分条件を意識しながら解くことがのちのち大切になっていくのでいまのうちにしっかりとその概念を理解しておきましょう。
まとめ
今回は数学Ⅰの集合と論理を勉強する上でのポイントについて解説しました。
なかなかとっつきにくい単元であるので苦手意識を持つ人も多いと思いますが、何とか乗り越えていきましょう！
最後までお読みいただきありがとうございました。
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