共通テスト直前！忘れるとかなりまずい確認しておきたい公式一覧（理系編）

共通テスト直前！忘れるとかなりまずい確認しておきたい数学の公式一覧（理系編）

みなさんこんにちは！

武田塾港南台校のSです！

みなさん理系科目の勉強は進んでいますか？

自然科学系の学問を学習する際には

公式という概念が付き纏ってくるでしょう。

公式というのはただ暗記するだけではいけません。

今回は、

忘れるとかなりまずい！？

しっかり確認しておきたい公式

を紹介していきます！

参考書‐武田塾港南台校

１. 公式の基礎基本をしっかり理解しよう

公式がどのような意味を持つか、

どのように導出されるかというところまで

理解していなければ入試の難しい問題は解けません。

特に忘れるとその分野の問題が

全く解けなくなってしまうような公式も多いです。

理系科目が苦手な受験生は公式を丸暗記してしまい、

理解をおろそかにしてしまうことが往々にしてあります。

しかし、自然科学という学問では基本法則から、

あらゆる法則が導出されます。

基礎基本を理解していれば

より高度な内容をも理解できるようになるのです。

また、大学で学問を学ぶ上では

物事の考え方をしっかりと理解していないと

講義についていくことはできません。

2. 加法定理(数学）

(1)説明

加法定理は、三角関数の

多くの公式の親となる重要な定理です。

この単元の最重要定理と言っても

過言ではないかもしれません。

この公式からさまざまな公式が導出されるので、

重要度は非常に高いといえるでしょう。

以下に1999年東京大学の数学

第一問(2)の問題を引用します。

(２）一般角α、βに対して、次の式を証明せよ。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

加法定理の証明問題がそのまま出題されたのです。

つまりこの問題は、

加法定理の導出方法を覚えていなければ

解けない問題です。

教科書に載っているような公式でも

しっかりと導出方法まで理解しておかなければならない

ということに他ならないでしょう。

(2)解答の方針

座標平面上に単位円を置き、

単位円上の２点：AとBの座標をcosとsinで表します。

次に、その２点間の距離を

三平方の定理を使って求めます。・・・（１）

同時にA,Bは単位円上にあることから、

二辺が半径１であることより、三角形ABOに余弦定理を

用いて２点間の距離を求めます。・・・（２）

（１）と（２）の

二つの式の値（＝距離）の値は

同じですから、

（１）と（２）を＝で結んで整理すれば

加法定理のうちの一つが証明できます。

3. 点と直線の距離の公式（数学）

(1)説明

点と直線の距離とは、

点から直線に向けて引いた垂線の長さであり、

最短距離のことです。

その距離を求める公式は

入試でよく用いられることで有名です。

しかし、公式の理解をおろそかにしては

いざ本質に迫るような問題を目にした時に

ペンを止めることになってしまいます。

大阪大学で下記のような出題がなされました。

xy平面において、点(x0,y0)と直線ax+by+c=0の距離は、
|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)である。

これを証明せよ。

(大阪大学,文系第一問）

この問題も公式を丸暗記していると

解答の際に手が止まってしまう問題です。

大阪大学の文系数学は大問3題構成なので、

この問題を白紙にするだけで30%も捨ててしまう

ことになってしまいます。

そのため、公式を理解していたか

理解していなかったかで大きな点数の差が

開いてしまうことに他なりません。

(2)解答

Pからax+by+c=0に下ろした垂線の足をH(x1,y1)と置く。

ax+by+c=0法線ベクトル→n(a,b)とPHの内積を考える。

→PHと→nは平行なので
→PH・→n=±|→PH|√(a^2+b^2)
|→PH・→n|=d√(a^2+b^2)
d=|→PH・→n|/√(a^2+b^2)・・・(1)
また→PH=(x0-x1,y0-y1)と→n(a,b)の内積は
a(x0-x1)+b(y0-y1)・・・(2)
(2)を(1)に代入。
d=|ax0+by0-ax1-by1|/√(a^2+b^2)・・・(3)
(x1,y1)はax+by+c=0上の点なのでax1+by1+c=0 c=-ax1-by1

(3)に代入。
d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

数学_文庫