【文系でも数学が好きなる】「モンティ・ホール問題」【武田塾国分寺校】

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はじめに・・・

こんにちは！武田塾国分寺校（042-312-0364）の大石です！

今回も「文系でも数学が好きになる」ブログをお届けします！

本日の内容は、数学者でも間違えることがあると言われる、「モンティ・ホール問題」というものを紹介していきます。

たまにテレビやYouTubeで話題に上げられることもあるものになりますが、解説されても「？」が外れるかどうかは正直わかりません！笑

ですが、数学に苦手意識がある人にも理解していただけるように解説をしていきますので、是非とも最後までご覧ください！

モンティ・ホール問題とは？

まずは、そもそもモンティ・ホール問題とはなんなのか、それ以前にモンティ･ホールとは誰なのかを解説するところから始めましょう。

モンティ・ホール問題は、アメリカの長寿番組「Lets Make a deal」という番組の中で出てきた問題が元となっており、その番組の司会者がモンティ・ホールであったことから、モンティ・ホール問題という名がつきました。

モンティ・ホール問題と言われることになる問題は以下の通りです。

「プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？」

これの何がそんなに騒がれているのかというと、この問題が「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」であるからです。

モンティ・ホール問題の解説

ではここからは、この問題が「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」と言われる理由について解説していきます。

この問題、選択肢は①ドアを変えるべき、②ドアは変えないべきの2択なのですが、皆さんはどちらが正解だと思いますでしょうか？少しだけ考えてみてください！

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正解は、①のドアを変えるべき、でした！

なぜそうなるのか、解説しましょう。

まずは簡潔に解説をしてみましょう。

扉を変えない場合ですと、正解の確率は３分の１となりますが、扉を変えた場合、その確率は３分の２となるのです。

ただ言葉で説明されても意味不明かもしれないので、表を用いて説明しましょう！

説明のために、３枚のドアの名前をA,B,Cとして、挑戦者が一番最初にAのドアを選ぶとしましょう。

すると、その後の確率は以下のようになります。

正解の位置がBとCの時に起こる確率が３分の１となっているのは、挑戦者がすでにAを選んでおり、司会者が開けることのできる不正解の扉が1つしかないためです。

以上の図から、扉を変えるときに正解となる確率の和は、1/3と1/3の和で、2/3となります。

一方、扉を変えないときは、1/6と1/6の和で1/3となります。

いかがでしょうか？視覚化することである程度納得感が得られたのではないでしょうか？

陥りがちな間違い

モンティ・ホール問題の解説をしてはみましたが、実際には多くの人が次のような間違いをするのです。

司会者が扉を開けた時点で、扉は2個しか残っていないのだから、扉を変えても変えなくても正解になる確率は２分の１なのだから、扉は変えなくて良い。

確かにそうかもしれませんが、これはあくまで直感に従って導いた答えであり、確率に則って問題を見ていけば先の解説の通りになります。

これこそが、「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる」現象なのです。

まとめ

今回は、「モンティ・ホール問題」について紹介していきました！

人間の直感は必ずしも正しいわけではないということがわかる問題でしたね。

もちろん、確率は確率でしかないので、正解がAで最初にAを選んでいたのに扉を変えたらもちろん不正解になってしまうのは仕方がないことです。

ですが、自分の直感を鵜呑みにせず、広い視野を持ってみることが大切だというのはどこの世界でも言えることなのではないでしょうか！

「志望校がなかなか決まらない・・・」「第一志望に受かるか不安・・・」

というような方、、、。

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