【「ざん」じゃなくて「ぜん」】「漸化式」のポイントを解説します！【武田塾国分寺校】

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はじめに

こんにちは！武田塾国分寺校（042-312-0364）の大石です！

今回も以前から引き続き数学シリーズの記事になります！

第７弾の今回は、「漸化式」について解説して行きます！

第６弾で紹介した「群数列」と同様に、数列の中でも特に好き嫌いが分かれやすい分野の一つになっています。

その上、入試ではほぼ必須とも言えるので、確実に得意になっておきたい分野でもあります。

今回はそんな「漸化式」について詳しく解説をしていきます！

いつ、どこで習う？

今回もいつもどこで習うのかを確認しておきましょう！

漸化式は、主に高校2年生で履修する、数学Bの「数列」で扱われます。

以前も書いたように、共テではほぼ選択必須となっており、その中でも漸化式はよく扱われる分野でもあります。

その上、私立入試などでも超頻出の分野であるので、ぜっっっっっったいに得意になっておきたい、いや、得意になっておかなければいけない分野となっています。

漸化式とは？

ということでここから「漸化式」について解説していきます！

そもそも「漸化」とはどういう意味なのかわかるでしょうか？

まあそもそも日本語に「漸化」という言葉はないので、明確な定義はないのですが、個々の漢字から意味を考えてみると、「漸」は「次第に」、「化」は「化ける」という読みから「形を変える」と考えることができるので、合わせると「次第に形を変える」というような意味になるでしょうか。

つまりは漸化式とは、次第な変化を表す式ということです。

一応、漸化式の参考書上の定義を載せておくと、「数列の各項を、その前の項から順にただ１通りに定める規則を表す等式」のことを言います。

では、言葉で説明されてもピンとこないと思うので、具体例を示しておきます。（今回、AnのAを、Aと大文字で表していますが、基本的には小文字で表します。）

【具体例】

ある数列Anが、A1=１・・・①  An+1=2An＋n・・・②の２つの条件を満たしているとします。

このとき、②式にn=１を代入すると、A2=２×A1＋１=３・・・③（∵①）

次に、③式にn=２を代入すると、A3=３×A2＋２=８（∵③）というふうに求めていくことができます。

このように、Anの各項が順々にただ１通りに求められていくことのが「漸化式」となります。

漸化式の種類

さて、ここからが漸化式の本番になります！！！

漸化式が苦手な人は基本的に今から説明する内容が整理できていないのが原因だと思うので、ここでまずは漸化式の種類を整理していきましょう！

パターンを覚えることさえできれば、あとはそれに当てはめていくのみですので、パターンとそれの解き方を頑張って覚えてみてください！

漸化式には次の８種類あります。ただもちろんこれらが全てではありませんが、これらが漸化式の基本的なパターン８つになりますので、これらを順番にマスターしていってください！

①An+1−An=d型（等差数列型）

②An+1=rAn型（等比数列型）

③An+1=An＋f(n)型（階差数列型）

④An+1=pAn＋q型（特性方程式型）

⑤An+1=pAn＋(nの１次式)型

⑥An+1=pAn＋q^n型

⑦An+1=An/(pAn＋q)型

⑧An+1=f(n)An＋q型

ではそれぞれについて解説していきます！

An+1−An=d型（等差数列型）

まずは漸化式の基本形を３つ紹介していきます！

１つ目は、等差数列型と呼ばれる、An+1−An=d型です。

これは、Anとその次の項がdと、nに無関係な定数であることから、差が一定であることがわかります。そこから、この漸化式が等差数列を表していることがわかります。

それがわかったら、多くの場合初項はわかっていると思うので、それと公差を求めてあげれば、等差数列の一般項を求めることができます。

An+1=rAn型（等比数列型）

基本形２つ目は、等比数列型と呼ばれる、An+1=rAn型です。

これは、等差数列型にはあった「定数項＝値によって左右されることがない項」がなく、Anについているrもnに無関係ですので、比が一定の等比数列を表していることがわかります。

等差数列型同様、与えられる初項と漸化式から得られる公比を用いれば、等比数列の一般項を求めることができます。

An+1=An＋f(n)型（階差数列型）

基本形の最後は、階差数列型と呼ばれる、An+1=An＋f(n)型です。

これは、形としては等差数列型と同じに見えますが、等差型では定数項だったものがf(n)とnに左右される関数となっているので、差は一定ではないことがわかると思います。

なので、まずは階差の式、ここでいうf(n)を求めます。求めるといっても基本的にはAnを左辺に移行すればわかるはずです。

そして、あとは通常の階差数列の一般項を求めるやり方同様に、n≧2の時の一般項をΣを使って求めてあげて、n＝1 の時に成立するかを確かめてあげればOKです。

これらが、漸化式の基本形３種類です。基本形といっても、等差、等比、階差と名前がついている数列についての漸化式ということがお分かりいただけたと思います。

ではここからは、基本形を応用した漸化式を紹介していきます！

An+1=pAn＋q型（特性方程式型）

まずは、An+1=pAn＋q型と呼ばれるものを紹介していきます！漸化式の中でも基本形と並んでかなり重要なものですので、しっかりとマスターしてください！

こちらは、一見すると最初の等差型と同じように見えますが、Anに注目してみてください。Anの係数が１ではなくpとなっています。このpがあるだけで別の漸化式となってしまうのです！

ではこのAn+1=pAn＋q型、どうやって解くのかというと、一般的には「特性方程式」と呼ばれるものを使うことが多いです。

この特性方程式を解説していきましょう。特性方程式とは、An+1=pAn＋qを「An+1−α=p(An−α）」の形に変形するための式で、この式は、An+1=pAn＋qのAn+1とAnの両方をαに置き換えてあげることで得ることができます。このαに置き換えた「α=pα+q」の式を特性方程式と呼びます。

じゃあ、「An+1−α=p(An−α）の形に変形することでどんなメリットがあるのか？」というと、基本形の等比数列型の漸化式に持ち込むことができるのです！

どういうことか？では、An-αをBnと置き換えてみてあげてください。すると、An+1=Bn+1と置き換えられるので、Bn+1=pBnとなり、等比数列の形にすることができるのです。

何度も言いますが、この型は数列では非常に重要なものになりますので、しっかりと使えるようになってください！

また、補足ですが、この特性方程式は、数学の厳密な公式ではないので、「特性方程式を用いて、、、」などと書く必要はありません。「変形すると、、、」と書いてあれば十分です！

An+1=pAn＋(nの１次式)型

続いてはAn+1=pAn＋(nの１次式)型です！こちらは、先ほどのAn+1=pAn＋q型のqがnの一次式となっているものです。

nの一次式とは、4nや2nのように、nに何かしらの係数がついたものになります。なので、nによって変動する、ということになります。

これを解くためにまず考えたいことは、「nを消去する」ということです！

そのために「階差数列」を使っていきます！

ここからは例をあげて解説していきます。

An+1=3An＋4n・・・①

①にn=n+1を代入していくと、An+2=3An+1＋4(n＋1)・・・②　となります。

そして②と①を辺々引いてみると、An+2 − An+1=3(An+1 – An)＋4となります。

あとはAn+1 − AnをBnに置き換えてあげると、Bn+1=3Bn＋4という形にすることができます。

この形にできれば、先ほど説明したAn+1=pAn＋q型と同じですので、特性方程式を用いて解いていくことができます！

An+1=pAn＋q^n型

続いては、これまた特性方程式型と似ている、An+1=pAn＋q^n型です。

この形でも考えたいのはやはり、「nを消去する」ということです。

ただ、ここでやっていくのは階差数列ではなく、「両辺をq^n+1で割る」ということです。

ここでも例をあげて説明をしていきます。

An+1=2An＋3^n+1・・・①

では、①の両辺を3^n+1で割ってあげましょう。すると、An+1/3^n+1=(2/3)*(An/3^n)＋1・・・②という形にすることができます。

そして、An/3^nをBnと置き換えてあげてみると、②は、Bn+1=(2/3)*Bn＋1・・・③となります。

ここまできたらもうお馴染みの特性方程式を使ってあげることで、解いていくことができます。

どうでしょうか？このあたりで特性方程式の重要性を推していた理由がお分かりいただけてきたのではないでしょうか？

An+1=An/(pAn＋q)型

残すところあと２つとなりました！７つ目はAn+1=An/(pAn＋q)型です。

なんと今度はAnが分母にも分子にもきてしまいました！このような、分子がAnだけの場合は、「両辺の逆数をとる」という方向で解き進めていきます！

ここでも例題を使っていきます。

A1=1/5、An+1=An/4An – 1・・・①

①の両辺の逆数をとると、1/An+1=４– 1/An・・・②

1/An=Bnとおくと、②の両辺はBn+1= – Bn＋４となります。こちらもあとは特性方程式を使ってあげることで解くことができます。

なお今回は省略していますが、逆数をとる前に全ての自然数nについてAn≠0であることを示す必要があります。

An+1=f(n)An＋q型

いよいよ最後の型になります！最後はAn+1=f(n)An＋q型です。

この型では、いつもの特性方程式ではなく、階差数列型を用いて解いていきます。

この型ではf(n)の形が一意に定まらないので、例を挙げるのも難しいですが、解き方のフローを挙げておくと、

①f(n)An=Bn、f(n)An+1=Bn+1に置き換えるために、両辺を割るなどして頑張って変形する。

②Bn+1=Bn+f(n)の形にする。

③Bn+1 – Bn=f(n)として、階差数列の形に持っていく。

といったところでしょうか？①については、問題によって変形の仕方が変わるので、これと言うことができませんが、最終的に階差数列に持っていくことができれば、解を求めることができます！

まとめ

今回は、「漸化式」について紹介していきました！

今回はAn+1とAnの２項間の漸化式を紹介しましたが、他にも隣接３項間や連立漸化式などもあります。もちろん、２項間漸化式でも紹介しきれていないものがまだあります。

が、全ての漸化式の問題の基本形は今回紹介した８個、特に特性方程式は漸化式の王道になりますので、これらは扱えるように頑張って覚えてみてください！

ですが、「他の分野も手こずってる・・・」「定期テストに間に合わない・・・」

というような方もおられるのではないでしょうか？

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