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今回は、「群数列」について解説していきます！
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第６弾の今回は、「群数列」について解説して行きます！
ただでさえ苦手な人が多い数列ですが、群数列になると「キライ！」となる人が格段に増える印象です。
入試頻出というわけではないですが、解き方のパターンはほぼ固定化されています。
ということで今回はそんな群数列の解き方のポイントを紹介します！
いつ、どこで習う？
今回もいつもどこで習うのかを確認しておきましょう！
群数列は、主に高校2年生で習う数学Bの「数列」で扱われます。
共通テストでは選択科目の１つとして出題される分野ですが、多くの人が「確率分布と統計的な推測」を履修していないので、ほぼ確定で選ぶことになるものになります。
また、数列自体は一般入試では頻出のテーマとなっており、苦手な場合は確実に得意になっておきたいところでもあります。
群数列とは？
ここでは、そもそも「群数列」って何？というところを解説していきます。
シンプルに「数列」というと、「１、４、７、１０、・・・」「２、４、８、１６、・・・」のように、とある規則性によって並んでいる数字の列のことを指します。一応解説しておくと、前者は公差３の等差数列、後者は公比２の等比数列です。
群数列とは、ある規則によって適当な群にわけた数列のことを指します。
「群」とは、噛み砕いて言えば「まとまり」ともいうことができるでしょう。
例を挙げると、「１｜３、５｜７、９、１１｜１３、・・・」のような数列になります。
なお、ここでは｜で群を分かりやすくしましたが、多くの場合本番では｜が引かれておらず、自分で群を分ける必要があります。
群数列の解き方のポイント！
ではここからは、群数列の解き方のポイントを紹介していこうと思います！
最初に述べたように、群数列は解き方のテンプレがあります。このテンプレを当てはめていくことで、大方の群数列は解くことができます。
まずはじめに、群数列のポイントを挙げておきましょう！群数列のポイントは次の３つです！
1. 各群の項数の規則性（＝一般項）を見つける！
2. 各群の初項の規則性を、各群の末項を元に見つける！
3. 各群の和の規則性を見つける！
先に例で挙げた群数列の問題を元に解説していきましょう。
群数列の解き方１〜第何群の何番目にあるか〜
１｜３ ５｜７ ９ １１｜１３ １５ １７ １９｜２１、・・・・・・
このとき、３０１は第何群の何番目に並ぶ数か？
まずは、元の数列の一般項を求めます。この数列は、初項が１、公差が２の等差数列ですので、一般項は、1+(n-1)×2=2n-1となります。
次は、各群の項数に注目しましょう。各群の個数は、１個、２個、３個、４個、・・・となっています。
つまり、群の順番と群に含まれる個数が一致しているということになります。なので、「第n群の項数はn個」ということになります。
次に、各群の初項の一般項を見つけていきます。
先に述べた通り、第n群にはn個の数を含むので、第(n-1)群の末項までに１＋２＋３＋・・・＋（n-1）個の奇数があるということになります。ですので、第n群の初項は、１＋２＋３＋・・・＋（n-1）＋１番目の奇数、ということになります。
つまり第n群の初項は、2{1/2(n-1)n+1}-1=n^2-n+1・・・①となります。
ここから、本題の３０１が第何群の何番目に並ぶ数かを求めていきます。
３０１が第n群に含まれているとき、第n群の初項から第n+1群の初項の間にあると考えることができるので、①から、
n^2-n+1≦301<(n+1)^2-(n+1)+1
となり、これを整理すると、
(n-1)n≦300<n(n+1)・・・②
というように変形できます。このとき、nは自然数（１以上の整数）であるので、自然数の中から②を満たすものを探せばいいわけです。
とすると、16×17=272、17×18=306より、②を満たすnは１７となります。つまり、３０１は第１７群にある、とわかります。
次に何番目にあるかですが、初項を第１７群の初項、公差が２の等差数列として考えると、
301=(17^2-17+1)+(n-1)2
から、nは１５と求められます。よって、３０１は、第１７群の１５番目に並ぶ数であるということがわかります。
いかがでしたでしょうか？このように「第n群の初項」を求めることで、その後の導出がしやすくなります。
では次は、和を求める問題を見ていきましょう！
群数列の解き方２〜第n群m番目までの和〜
今回も先ほどと同じ数列を使いましょう。
１｜３ ５｜７ ９ １１｜１３ １５ １７ １９｜２１、・・・・・・
このとき、第２３群の５番目までの和を求めなさい。
まずは、各群の和の一般項を求めていきます。
第n群は、初項n^2-n+1、公差２、項数nの公差数列ですので、ここで等差数列の和の公式を使うと、
n{2×(n^2-n+1)+(n-1)×2}×(1/2)
という式で表され、これを整理すると、n^3という解が得られます。
ですので、第２２群までの和を求めると、{(1/2)×22×(22+1)}^3=64009（シグマの公式より）となります。
そして、残り第２３群の初項から５番目までの和を求めていきます。第２３群の初項は①より、23^2-23+1=507が得られます。
ここでも等差数列の和の公式を使うと、5×{2×507+(5-1)×2}×(1/2)=2555となります。
よって求める和は、64009+2555=66564となります。
いかがでしょうか？この問題であれば、第n群の項数がn個であることから、第２３群の５番目の項が全体の数列の258番目であることがわかるので、和の公式を用いれば一発で求めることができます。
まとめ
今回は、「群数列」について紹介していきました！
今回例題で扱った問題はあくまで群数列の基礎問題ですので、難易度は低いものとなっていますが、今回紹介したポイントを使うことで、より解きやすくなるはずです！
数学で大事なのは、基礎で得た解き方のパターンを自分で応用レベルで使えるようになることです。
問題演習を積んでいって、複雑な問題も解けるようになってください！
ですが、「他の分野も手こずってる・・・」「定期テストに間に合わない・・・」
というような方もおられるのではないでしょうか？
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