【場合の数を苦手にしないにために】PとCの違いを詳しく解説！【武田塾国分寺校】

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はじめに

こんにちは！武田塾国分寺校（042-312-0364） の大石です！

今回も以前から引き続き数学シリーズの記事になります！

ここまで、「絶対値」「必要十分条件」と紹介してきて、今回のテーマは「順列と組み合わせ」です！

これもこれでまた苦手な人が多い分野だとは思いますが、今回もそんな苦手にしている人に向けて解説をしていきます！

なお、以前の絶対値の記事と必要十分条件の記事は以下よりご覧ください！

【絶対値】

【躓いていませんか？】絶対値について細かく解説！【武田塾国分寺校】 - 予備校なら武田塾 国分寺校

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【必要十分条件】

【⇨はどっち？】「必要十分条件」って何？【武田塾国分寺校】 - 予備校なら武田塾 国分寺校

水曜連載「数学を細かく解説！」第二弾は「必要十分条件」です！ 大学受験の予備校・学習塾・個別指導は逆転合格の武田塾の国分寺校まで。

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いつ、どこで習う？

解説を始める前に、今回もいつどこで習うのかどうかを確認していきましょう！

順列と組み合わせは主に、高校1年生で履修する数学Aの「場合の数と確率」という分野で習います。（教科書によってタイトルは様々かもしれないですが…）

共通テストでは選択科目の一つとして出題され、図形が苦手という人は図形の代わりにこちらと整数の問題を選ぶことが多くあります。

また、以前紹介した必要十分条件とは違い、私大入試などでも出題頻度は高いです。

順列とは？

ではここからは、順列とは何か、組み合わせとは何か、をそれぞれ解説していきます！まずは順列からです！

順列とは簡単にいうと、「並べ替え」のことを指します。

問題でいうと、「１〜４の４つの数字を並べ替えて４桁の数字を作る。」という趣旨のような問題のことです。

もちろん一概に並べ替えると言っても、一列に並べ替えるものの他にも、円形に並べ替える「円順列」、円形に並べ替えたものをひっくり返して同じになるものを１種類とみなす「数珠順列」などと言ったものもあります。

こちらの順列の問題は、小学生・中学生で習った「樹形図」を用いることで解くことも可能なので、「試験中樹形図書きまくったわ！」という人も少なからず、いや、たくさんいるはずです。

組み合わせとは？

では次に、組み合わせとは何かを解説します！

組み合わせとは、いって仕舞えばそのまま「組み合わせ」ということになりますが、順列と大きく違うのは、「ものを取り出す順番を気にしない」ということになります。

問題の形式としては、「１〜４の４つの数字から２つを選ぶ。」といった問題になります。

この問題で注意が必要なのは例えば「「１、３」の組と「３、１」の組は同じ！」ということです。

先も言った通り、「取り出す順番は気にしない」ので、上記の２組は同じものとなるということになります。

なのでこの問題では、同じ組になるものを消していかなければならない「樹形図」を使って書きまくる戦法は通用しないのです！

どっちがPでどっちがC？

ここまで「順列」と「組み合わせ」の２つを解説していきました。

ということでここでは、今回の記事の本題である、「どっちがPでどっちがCなのか」について解説していきます！

実はこの違い、PとCの由来を知っていれば区別も何の問題もないのですが、PはPermutation、日本語で言うと「順列」という意味の英語の頭文字なのです。

正直「パーミュテーション」と言われてもピンとこない人が多いと思いますが、もう一つのCはCombination、日本語で「組み合わせ」という意味の英語の頭文字となっています。

「コンビネーション」であれば、聞き覚えのある人もたくさんいると思うので、Cはコンビネーション（組み合わせ）のCと覚えましょう！

どうでしょうか？意外とどうってことないじゃんと思っていただけたら良いのですが…。

なにはともあれ、これで２つの区別の仕方を解説したので、続いてはそれぞれの計算の仕方を解説します！

P（順列）の計算方法

まずはPから説明します！

Pは、先も言った通り樹形図と同じようなものなので、計算も割とシンプルなものになります。

公式として書くと以下のようになります。

「異なるn個のものの中から異なるr個を取り出して１列に並べる順列の個数は、nPr = n(n-1)(n-2).............(n-r+1)=n!/(n-r)!　(r≦n)」

ここでの「！」は階乗といって、１から特定の自然数までの自然数を１つずつ掛けていったものの積を表します。（ですので、５！であれば、1*2*3*4*5＝120ということになります。）

正直式にされても「？」となってしまうと思うので、先ほどあげた例題で実際に計算をしてみましょう！

問. １〜４の４つの数字を並べ替えて４桁の数字を作るとき、できる整数の数は何個か。

解. 求める個数は、異なる４個の整数から４個を取って並べる順列の総数なので、4P4 = 4*3*2*1 = 24個

いかがでしょう？もう少しわかりやすく噛み砕いて説明すると、合計の個数から取り出す個数の数だけ数字を順に掛けていく、ということになります。

ではもう１問やってみましょう！

問. １〜６の６つの数字の中から異なる３個を取り出して１列に並べたとき、できる３桁の整数は何個か。

解. 求める個数は、異なる６個の整数から３個を取って並べる順列の総数なので、6P3 = 6*5*4 = 120個

どうでしょう？だいぶ慣れてきたのではないでしょうか？

ここまで来れば、あとは色々な問題に合わせて解き方のパターンを覚えるのみですので、たくさん演習をしていってください！

C（組み合わせ）の計算方法

さて、続いてはCについてです！

こっちについては、樹形図で簡単に個数を数えられるものではないので、ちょっと難しいかもしれません。

ですが考え方としては、「１列に並べたものの中に、同じ組み合わせになるものが何通りずつあるのかを数える」というふうに考えてみると、見方も変わると思います。

実際の公式は以下のようになります。

「異なるn個のものの中から異なるr個をとる組み合わせの個数は、nCr = nPr/r! = n(n-1)(n-2)......(n-r+1)/r(r-1).....3*2*1 = n!/r!(n-r)!」

どうでしょうか？先のPよりもだいぶ複雑に見えると思います。この式の構造を先に解説すると、分子にはnから順番に数字をr個並べてあげて、分母には数字を1からr個並べてあげます。

日本語で説明されてもイメージがつきにくいと思うので、実際に問題をやってみましょう！

問. AさんからGさんまでの７人から３人を選ぶときの場合の数は何通りか。

解. 7C3 = 7*6*5/3*2*1 = 35通り

いかがでしょう？思っていたよりも単純なのではないでしょうか？

念の為、もう１問やってみましょう！

問. 9人を4人、3人、2人の３組に分ける方法は何通りあるか。

解. (9C4)*(5C3)*(2C2) = (9*8*7*6/4*3*2*1)*(5*4*3/3*2*1)*(2*1/2*1) = 1260通り

どうでしょうか？ちょっと難しかったかもしれませんが、９人から４人を選ぶ「組み合わせ」であるので、この問題でもCを使います。（見やすくするために便宜上括弧をつけました。）

組み合わせも順列同様、色々な問題に合わせて解き方のパターンを覚えることが必要ですので、いろいろな問題を解いてみていってください！

まとめ

今回は、「PとCの違い」について紹介していきました！

今回の記事で２つの区別の仕方は意外と簡単だったと思っていただけたのではないでしょうか？

ただこの分野で大事なのは、これらを使って様々な形式の問題を解いていくことです。

そのためには、自分が様々な記事で述べているように、様々な解き方のパターンを覚えて、それを色々な問題に応用していくことが大事です。

「公式覚えられた！」で終わるのではなく、「公式を使って問題を解けた！」となれるように頑張ってください！

ですが、「他の分野も手こずってる・・・」「定期テストに間に合わない・・・」

というような方もおられるのではないでしょうか？

そんな時は是非！武田塾国分寺校（042-312-0364) にご相談ください！

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