【躓いていませんか？】絶対値について細かく解説！【武田塾国分寺校】

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はじめに

こんにちは！武田塾国分寺校（042-312-0364）の大石です！

高校１年生になったみなさん！高校生活はいかがでしょうか？

中学から内容がガラッと変わり、得意そうな科目・無理そうな科目がそろそろはっきりしてきたのではないでしょうか？

特に数学については、今までは「数学」だったものが「数学Ⅰ・数学A」となり、やる内容も高度になってきたと思います。

そして、中学数学で多くの人が苦戦したであろう分野が、再びいきなり数学Ⅰで登場します。

「絶対値」です！どうでしょう？あまりいい思い出がある人はいないのではないでしょうか？（「そもそも数学なんか嫌い！」と言われてしまったら元も子もないですが笑。）

そこで今回は、中学生・高校生の両者に向けて、絶対値について解説します！

絶対値とは？

まずはじめに絶対値の解説をする前に、絶対値をどこで習った（習う）かを確認しておきましょう。

絶対値が一番最初に登場するのは、中学１年の「数と式」です。

そのあとは中学数学では出てこず、その次に出てくるのが高校１年で習うことが多い数学Ⅰの「数と式」です。

また高校数学になると、分野関係なくグチャグチャに出てくることになります。

ではここから絶対値について解説して行きます。

絶対値とは、一言でいうと「距離」です！

もうちょい細かく言うと「基準となる場所からの距離」です。

数字には１や２といった「正の数」はもちろん、−１や−２といった「負の数」があります。

それが基準となる点からどのくらい離れているのか？と言うのを絶対値で表します。ここでいう基準となる点とは原点＝０のことを指します。

なので、１の絶対値はなんですか？となったらもちろん１ですし、−１の絶対値はなんですか？となっても１ということになります。

絶対値という言葉がわかりにくかったら、１の０からの距離はいくつですか？と言い換えてみてもいいでしょう！距離であったら、−なんてことはあり得ませんからね。

どうでしょうか？ここまでついてこれているでしょうか？

言葉で説明されてもイメージがつかないと思うので、実際に問題をやってみましょう！

では①！１０の絶対値はなんでしょう？

さすがに簡単ですかね？

では②！−２５の絶対値はなんでしょう？

どうでしょう！わかりましたか？

ところで、ここでピンときた人もいるかもしれません。「ある絶対値をとる数字は必ず２つあるんじゃない？」と！

そうです！その通りです！絶対値が１の数字は１と−１の２つですし、絶対値が２の数字は２と−２の２つあります。

ではこれを元に、次の問題を解いてみましょう！

③絶対値が５の数字はなんでしょう？

④以下の中から絶対値が等しくなる組を全て選んでください！

４、２１、０.４、１２、−４、−１２、４０

いかがでしたか？④はちょっとひねった問題だったかもしれませんが、あまり難しくはなかったのではないでしょうか？

ここまでが絶対値の基本になります！

これだけ見ると、「絶対値簡単じゃん！」「マイナスだったらマイナス外すだけだ！」と思うでしょう！

ただ、高校数学の奥に入ると、絶対値を使った複雑な問題が出てくることになります。

次の章では、高校数学で出てくる絶対値を解説します！

問の答え

①１０　②２５　③５と−５　④４と−４、１２と−１２

絶対値が使われる問題の扱い方

ではここからは、もう少し応用的な話をして行きます！ここからの話は主に数学ⅠA・ⅡBで扱われる問題になります。

まずはつぎの問題を見てください。

問１．｜x＋３｜＜４

どうでしょうか？すでにⅠAを履修している人はこんな問題は余裕でしょうか？（そうであって欲しいものですが…）

この問題の解き方は、

①絶対値を（）にしてプラスマイナスをつける。

②プラスの場合、マイナスの場合に分けて解く。

③プラスの場合とマイナスの場合の答えを合わせる。

の３ステップになります。

ですのでこの問題を解くとしたら、

①  ±(x+3)<4

②x+3<4 →x<1、-x-3<4 →-x<7 →x>-7

③ -7<x<1

という流れです、いかがでしょうか？

数学に慣れている人であれば、｜（xの式）｜＜数字　なら「−数字＜（xの式）＜数字」のやり方で解くことが多いと思います。

ただ上記のやり方は、さまざまな方法で応用できるので、上記のやり方を是非とも覚えて欲しいのですが、ではもう１問やってみましょう！

問２．｜x−４｜＜３x

この問題も基本的に上記の３ステップで解けるのですが、①の前に１つだけやらなければいけないことがあり、絶対値の中が０以上になる時と０未満になる範囲を計算で求める必要があります。

加えて、場合わけをして不等式を解いて得られる解と、上記で求めた範囲を合わせる必要があります。

言葉で説明してもわからないと思うので、それを踏まえて解いてみると、

ⅰ）x-4≧0のとき、つまりx≧4のとき、x-4<3x →-2x<4 →x>-2　x≧4と合わせて、x>-4

ⅱ）x-4<0のとき、つまりx<4のとき、-(x-4)<3x →x-4>-3x →4x>4 →x>1　x<4と合わせて、1<x<4

よってⅰ）とⅱ）の結果を合わせると解は、1>x

どうでしょうか？少し手順は多くなりましたが、基本は上記の３ステップに乗っとっています。

そしたらもう一問やってみましょう！

問３．｜x^2-2x-3｜≧3-x

絶対値の中が二次関数になりましたが、やり方は基本的に問２と同じです。

まずは、０以上になるときと０未満になるときを求めましょう！

x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

≧0のとき、x≦-1, 3≦x、<0のとき、-1<x<3

あとは、３つのステップのやり方で進めましょう！

ⅰ）x≦-1, 3≦xのとき、x^2-2x-3≧3-x →x^2-x-6≧0 →(x-3)(x+2)≧0 →x≦-2,3≦x　x≦-1, 3≦xと合わせて、x≦-2,3≦x

ⅱ）-1<x<3のとき、-(x^2-2x-3)≧3-x →x^2-2x-3≦x-3 →x^2-3x≦0 →x(x-3)≦0 →0≦x≦3　-1<x<3と合わせて、0≦x<3

ⅰ）とⅱ）の結果を合わせると解は、x≦-2、0≦x

いかがだったでしょうか？

ここまでで皆さんにわかって欲しいことは、「絶対値の問題ではプラスの時とマイナスの時で場合わけをする！」ことです。

そこのポイントが掴めれば、絶対値の問題がより解きやすくなるはずです！

ポイントに注意して是非とも絶対値の問題を解けるようになってください！

まとめ

今回は、「絶対値とはなんなのか」について紹介していきました！

改めて今回のポイントをおさらいすると、「絶対値の問題ではプラスの時とマイナスの時で場合わけをする！」でした。

今回の絶対値の問題のように、数学にはそれぞれ解き方のパターンがあります。

そのパターンをしっかりと押さえれば、難しい問題も徐々に解けるようになっていくことでしょう！

ただ、そのパターンを掴むために大事なことは問題演習を積むことです。

色々な問題を解いて苦手をなくしていってください！

ですが、「他の分野も手こずってる・・・」「定期テストに間に合わない・・・」

というような方もおられるのではないでしょうか？

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