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今回は、「合同式」について解説していきます！
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今回も以前から引き続き数学シリーズの記事になります！
ここまで計３回お届けしてきましたが、今回は少しテーマを変えた「知っていたら便利なもの」を紹介していきます！
ということで今回は、「知っていたら便利な」合同式を解説していきます！
【絶対値（第１回）】
【必要十分条件（第２回）】
【PとCの違い（第３回）】
「合同式」の立ち位置
合同式について紹介する前に、今回もいつどこで習うのかどうかを確認しておきましょう！
ただ、先ほど言った通り「知っていたら便利な」ものであることからお分かりの通り、合同式は必ず学校で習うものではありません！
というのも、文部科学省が定める「高等学校学習指導要領」には今回の合同式が含まれておらず、必ず教えなければいけないものではないのです。
ですので、多くの学校では省略されることが多いようです。
一応分野で説明すると、数学Aの「整数の性質」のところで扱われます。
もちろん、必ず勉強するわけではないということは、勉強しなくても解ける、ということになりますが、「知っていたらめちゃくちゃ楽に解ける！」という問題もたくさんあります！
ということで、まずは、合同式とは何なのかについてを解説します！
合同式とは？
ではここから、「合同式とはなにか」について解説していきます！
まずは、合同式の参考書での定義を確認しましょう。
「 a-b がmの倍数であるとき、a, b はmを法として合同であるといい、式でa≡b(mod m)と表す。このような式を合同式という。」
（出典：数研出版 チャート式基礎からの数学Ⅰ+A）
正直、これを言われても？？？な人がほとんどだと思うので、もう少し噛み砕いて説明します！
「合同である」とは、簡単に言うと「余りが同じである」ことを言います。
例えば、３と７を例に考えてみましょう。
ここでは７をa、３をbであるとみなします。すると、a-b、つまりmは４となります。
そして、続いての、7, 3は4を法として合同、の部分に移りますが、これはつまり、７と３は４で割った余りが等しくなる、と言い換えることができます。これを式にすると、7≡3(mod 4)という式になります。
なお、ここでのmodは"modulus（法）"という単語に由来しています。
いかがでしょうか？少しイメージがついたのではないでしょうか？
もう少し定義を噛み砕いた形にすると、「a-b=mのとき、aをmで割った余りと、bをmで割った余りは等しくなる。」とすることができます。
合同式の特徴
合同式には、様々な性質があります。ここではその性質を何個か紹介します！
合同式の基本性質１
①反射律 a≡a(mod m)
まずは反射律です。式で表すと、a≡a(mod m) となります。
これについては言わずもがなだと思います。では、次にいきましょう。
②対称律 a≡b(mod m)のとき、b≡a(mod m)
続いては対称律です。式で表すと、a≡b(mod m)のとき、b≡a(mod m)となります。
こちらは噛み砕いて言うと、入れ替えても同じことが言える、ということです。
2×3と3×2がどちらも同じになるのと同じことです。
③推移律 a≡b(mod m), b≡c(mod m) のとき、a≡c(mod=m)
続いては推移律です。
こちらはよくある、a=b, b=cならa=cになる、ということと同じことが合同式でもいうことができます。
合同式の基本性質２ （前提：a≡b(mod m), c≡d(mod m)）
④和の性質
まずは和の性質です。
前提が成り立つ時、a+c≡b+d(mod m)、が成り立ちます。つまり、合同式は辺々足し算ができるということです。
具体的な数字を当てはめてみると、
3≡7(mod 4), 9≡13(mod 4)のとき、3+9≡7+13(mod 4)となります。（12も20もともに４で割るとあまりは０になります。）
⑤差の性質
続いては差の性質です。
前提が成り立つ時、a-c≡b-d(mod m)、が成り立ちます。つまり、合同式は辺々引き算ができるということです。
ここでも具体的な数字を当てはめてみましょう。
9≡13(mod4),3≡7(mod 4)のとき、9-3≡13-7(mod 4)となります。（両辺とも４となり、上記の反射律によって成り立つことがわかります。）
⑥積の性質
和、差と続いて、次は積になります。
前提が成り立つ時、ac≡bd(mod m)、が成り立ちます。
ここでも具体例を挙げると、3≡7(mod 4), 9≡13(mod 4)のとき、3*9≡7*13(mod 4)となります。（左辺＝27、右辺＝91となり、どちらも4で割ると余りは3となります。）
⑦べき乗の性質
和、差、積ときて次は商の性質ではなく、べき乗の性質となります。
この性質は、a≡b(mod m)のとき、自然数nに対して、a^n≡b^n(mod m)、となります。
ここでも具体的な数字を当てはめてみましょう。
3≡7(mod 4)のとき、両辺3乗すると、右辺が27、左辺が343となり、どちらも4で割ると余りは1になります。
⑧商の性質
最後にようやく商の性質です。こちらの性質は少しややこしいですが、一旦定義をみてみましょう。
「aとmが互いに素のとき、ax≡ay(mod m)ならば、x≡y(mod m)」
いかがでしょうか？まずは用語の整理をしましょう！
「互いに素」の意味は大丈夫でしょうか？互いに素とは、「１以外に公約数を持たない」ということです。
公約数の説明もしておくと、複数の数字を同時に割り切ることができる数字のことです。
その上で上記の定義を具体例を用いて説明します！
9≡21(mod 4)を例に使います。このとき、9=3×3、21=3×7となります。つまりここでの３が定義でのaということになります。
すると、3と4は互いに素になります。
ですので、両辺とも３で割ると、3≡7(mod 4)となります。
じゃあどうやって使う？
ここまで合同式の性質を長々と紹介してきましたが、ここで疑問に思う人が出てくるでしょう。「じゃあどうやって使うの？」と！
安心してください。もちろん紹介します。
例題１：１３の１００乗を９で割った余りを求めよ。
いかがでしょう？面倒くさそうですよね。ですが、合同式を用いることで楽に解くことができます。
解
13≡4(mod 9)であり、4^2≡16≡7(mod 9)、また、4^3≡64≡1(mod 9)
ゆえに、4^100≡4×(4^3)^33≡4(mod 9)
よって、13^100≡4^100≡4(mod 9)
したがって、求める余りは４
どうでしょうか？合同式を使うことによって数字が楽になりました！
このように、合同式は「計算を楽にする」ことができるのです！
ではもう１問、違った形式の問題を見てみましょう！
例題２：４７の２０１１乗の一の位の数を求めよ。
どうでしょうか？これまた面倒くさそうな問題が出てきました。ですが、これも合同式を使って数字を簡単にすることで、楽に解くことができます！
解
47≡7(mod 10)であり、7^2≡49≡9(mod 10)、7^3≡9×7≡3(mod 3)、7^4≡9^2≡1(mod 10)
ゆえに、7^2011≡((7^4)^502)×7^3≡3×1^502≡1×3≡3(mod 10)
よって、47^2011≡7^2011≡3(mod 10)
したがって、47の一の位の数は３
いかがでしょうか？このように合同式を使えば、合法的に簡単な数字に変形させることができ、楽な計算をするだけでよくなるのです！
まとめ
今回は、「合同式」について紹介していきました！
必修ではないですが、知っているだけで計算をより楽にすることができるのがお分かりいただけたのではないでしょうか？
共通テストなどで大事になるのは、「いかに計算する量を削減できるか」です！合同式はそのための方法の一つになります！
合同式以外にも、たくさん問題を解いていって、どうしたら時間を削減できるかを考えてみてください！
そうすれば、共通テスト満点も遠くはないはずです！
ですが、「他の分野も手こずってる・・・」「計算の工夫の仕方がわからない・・・」
というような方もおられるのではないでしょうか？
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