こんにちは！
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逆転合格 の 武田塾 河内長野校
です。
今年がある種旬な共通テスト教科情報の為の進数の話をしていきたいと思います！！
で、案外その辺に溢れかえる進数なんですが、ご存じな物ありますか？
1年[３６５]進法、1年[１２]進法、1月…は決まっていないからパス！1週間[７]進法、1日[２４]進法、1時間[６０]進法、１分[６０]進法、１秒以下は１０進法で割っていく感じですね。
基本として、X進数とは０から数えてX―１までを第１桁目に収めて、Xに至った時に2桁目に繰り上がりする数字のことを言います。
お金は基本１０進法で１０００までは同じ単位内、なので1万進法。万➩1万倍➩億➩1万倍➩兆…ですね。
はい、という事で案外「進法」というのは様々なルールで存在しているのが分かります。
では、情報において何で進法が必要か？というお話です。
ええ、今皆さんが見て頂いているディスプレイの表記、これも情報で行う進数によって計算された結果なんですが、とても数学には見えませんよね？むしろ、思いっきり文系の文章にしか見えません。ですが、確かに今これを読んでいる皆さんの目の前には確かに情報の成果が今も確実に表示されているんです。
なら、勿体ぶらずに教えろよ！という所ですよね。
それでは、少々詳しいお話をしていきましょう。
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BitとByte
情報において基準となる単位があります。それはBit(ビット)です。聞いて、某宇宙で戦争する無人誘導兵器を連想した人、その間性私と近いです。一昔前にはビットコインという仮想通貨がありましたね。アレのBitとも言えます。
そのBitとは情報においては「０と１」で示す……とかしたり顔で説明する場合が多いんですが、目の前の画面の[.]に注目してみて下さい。この白のエリアが０で、黒のエリアが１を表します。つまり、「在る(on)と無し(off)」それを細かく制御しているのは電圧です。方形波を想像して貰うと分かりやすいんですが、＿|￣|＿みたいな波形です。
０ １ ０ off on off
＿|￣|＿ ＿|￣|＿
あくまでも例えですが…
非常に見難いですが、下記のような状態が半角2文字≒全角１文字
全角文字は２Ｂｙｔｅ＝つまり、横列１６桁、縦列１６桁の塊です。
□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□■■□□□□□□■■□□□
□□■■■■□□□□■■■□□□
□■■■■■■□□■■■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■□□■■□□□□■■□□□
□■■■■■■□□□■■■■□□
□□■■■■□□□■■■■■■□
□□□■■□□□□■■■■■■□
□□□□□□□□□□□□□□□□
アスキーアートかよ！と思うかもしれませんが、そのアスキーコードを使った文字表現が情報の基礎です。
ここから白マスと黒ますを０と１に置き換えてみましょうか
００００００００００００００００
０００１１００００００１１０００
００１１１１００００１１１０００
０１１１１１１００１１１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１００１１００００１１０００
０１１１１１１０００１１１１００
００１１１１０００１１１１１１０
０００１１００００１１１１１１０
００００００００００００００００
となります。
そして、０と１で現わすという事は２が無いので桁が繰り上がる事を表します。
✖２
◎０１＋０１＝１０(２)
つまり、コレは２進数で出来ています。
それでは、２進数として計算してみましょうか？
１１１１１１１１１１１１１１１１(２)はそのまま普段使っている10進数に直すのは中々難しいです。
じゃあ、どうするか？といえば、こうします。
⇓
(１１１１)(１１１１)(１１１１)(１１１１)４桁４つに分けます！
どうしてか？
１１１１(２)
これを10進数に直そうとすると…
２３＋２２＋２１＋２０
⇓
８ ＋ ４＋ ２ ＋１
ここまでは指数の計算なので、難しくないですよね？
基本はこの形を覚えておいて下さい。
|
８ |
４ |
２ |
１ |
|
８ |
４ |
２ |
１ |
|
８ |
４ |
２ |
１ |
|
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
０ |
１ |
０ |
０ |
１ |
０ |
１ |
||
|
８ |
４ |
２ |
１ |
８ |
０ |
２ |
０ |
０ |
４ |
０ |
１ |
||
|
8+4+2+1=15(10) |
8+0+2+0=10(10) |
0+4+0+1=5(10) |
|||||||||||
という感じで、表にして掛け算と足し算を使うと簡単に2進数と１０進数に直せます。
表に直した１０進数を横の列も全て足し合わせると４桁の２進数を１０進数に直せます。
この４桁の２進数は上記の表から８＋４＋２＋１＝１５となるので、
最大値は１５(10)で最小値は０(10)です。
つまり、範囲外の５桁目は１６が入ります(２４)。２進数の４桁は最大１５(10)であり、情報で使う１６進数の１桁目と同じです。
１桁で１６が表せる筈がない！？いいえ、表すんです。
|
０ |
１ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
７ |
８ |
９ |
１０ |
１１ |
１２ |
１３ |
１４ |
１５ |
|
0000 |
0001 |
0010 |
0011 |
0100 |
0101 |
0110 |
0111 |
1000 |
1001 |
1010 |
1011 |
1100 |
1101 |
1110 |
1111 |
|
０ |
１ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
７ |
８ |
９ |
Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
Ｅ |
Ｆ |
Fって何だよぉ！？って気持ち、分かります！！
１６進数である以上、１０で桁が上がるとダメですよね？ここは理解して頂けると思います。
ですので、１６進数では１０＝Ａ、１１＝Ｂ、１２＝Ｃ、１３＝Ｄ、１４＝Ｅ、１５＝Ｆと表記します。
{１６３×（１５）}＋{(１６２×（１５）}＋{１６１×（１５）}＋{１６０×（１５）}
＝
と求める事になります。
流石に、１６進数4桁を１０進数に直す事は無いと思いますので、こんな感じで計算すると覚えて頂ければいいです。
むしろ、2進数➩１６進数がメインになると思います。
では、これを踏まえて上記の「０１」のアスキーアートを１６進数表記してみましょうか。
８４２１ ８４２１ ８４２１ ８４２１
× × × ×
００００ ００００ ００００ ００００(2) ＝{０} {０} {０} {０} (１６)
０００１ １０００ ０００１ １０００(2) ＝{１} {８} {１} {８} (１６)
００１１ １１００ ００１１ １０００(2) ＝{３} {Ｃ} {３} {８} (１６)
０１１１ １１１０ ０１１１ １０００(2) ＝{７} {Ｅ} {７} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１０ ０１１０ ０００１ １０００(2) ＝{６} {６} {１} {８} (１６)
０１１１ １１１０ ００１１ １１００(2) ＝{７} {Ｅ} {３} {Ｃ} (１６)
００１１ １１００ ０１１１ １１１０(2) ＝{３} {Ｃ} {７} {Ｅ} (１６)
０００１ １０００ ０１１１ １１１０(2) ＝{１} {８} {７} {Ｅ} (１６)
００００ ００００ ００００ ００００(2) ＝{０} {０} {０} {０} (１６)
このような形で、2進数4桁＝１６進数1桁で表現することが出来ます。
そして、じゃあそもそも何故全角半角2桁を表記したかと言えば、上でさらっと触れましたが、半角1文字１Ｂｙｔｅで全角1文字２Ｂｙｔｅです。
１Ｂｙｔｅ＝８(桁)Ｂｉｔなので、上記の色分けで言えば２色分の８桁を表します。赤青と黄灰でそれぞれ１Ｂｙｔｅずつ。
２Ｂｙｔｅで約6万5千通り近くを表す事が出来ます。それが更に１６倍あって、約１００万通り以上の配列から全角文字の１文字ずつが作られています。
また、パソコン含めた半導体による計算機は基本的には加算による計算しかできません。これを逆手にとって、対応桁外に桁を飛ばす事で足しても数が小さくなるという内部処理をしています。
その理由としては情報の他の分野になるド・モルガンの定理を使う論理回路の問題があります。足し、かけ、反転の３種類で処理するため、計算の基礎もまた足し算と掛け算、電圧の反転による０と１の反転の表現方法だけで複雑な計算をしています。
と、細かい事は置いておいて……
まとめ
◎PCの画面上の黒い点はある＝１で、白＝０で表現される。
◎１（ON）と０（ＯＦＦ）なので、2進数で表現ができる。
◎2進数で表現する場合は、通常の１０進数と同じく右が小さくて左が大きい。
|
２３ |
２２ | ２１ | ２０ |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 4 | 2 | 1 |
8+4+2+1=15(10)
表化することで、掛け算と足し算で計算が可能になる。
2進数➩１０進数の逆も可能
２５０(10)
１２８ ６４ ３２ １６ ８ ４ ２ １ (２ｘ)
２５０―１２８ Yes➩１左
１２２―６４ Yes➩１
５８ ―３２ Yes➩１
２６ ―１６ Yes➩１
１０ ―８ Yes➩１
２ ―４(×０) No ➩０
２ ―２ Yes➩１ ⇑
０ ―１(×０) No ➩０右
⇚
１１１１１０１０(2)
◎2進数➩１６進数
(１１１１)(１０１０)(２)
８＋４＋２＋１(10) ８＋０＋２＋０(10)
１５(10) １０(10)
⇓
( F(16)(=15(10)) )( A(16) (=10(10)) )
⇓
FA(16)
◎１６進数➩２進数
F＝１５ A＝１０
１５―８×１ １０―８×１
７ ―４×１ ２―４×０
３ ―２×１ ２―２×１
１ ―１×１↑ ０－１×０↑
← ←
(１１１１)(１０１０)(2)
この辺を押さえておくと、分かりやすいと思います。
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