【検証】早稲田数学、武田塾の参考書で解ける説！？【理工学部】

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今回は第4弾早稲田大学理工学部　数学です。

入試問題と参考書を照らし合わせて、実際にどのくらい役に立つのか、検証してみました！

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そこで、何より一番知っておいていただきたいのが参考書を完璧にすることの重要性です～

武田塾の参考書で入試問題にどこまで太刀打ちできるようになるのか。一緒に確認しましょう！

今回は、早稲田大学の2022の入試問題で検証していきます！

早稲田理工数学

1. 数学 2022 大問1

早稲田理工数学2022の大問１は数Ⅲの微分積分に関する設問でした．

早稲田理工数学1

(1)は指数関数でできている関数のグラフを書く問題です．このグラフを書く際は，微分して増減を調べた上で，極値や漸近線を調べてあげる必要があります．この流れは，「入門問題精講数Ⅲ」の第5章練習問題5,6や「基礎問題精講数Ⅲ」の例題78番で解説されている通りです．

(2)は2曲線で囲まれた部分の面積を求める問題です．2つの曲線で囲まれた部分の面積を求める際は，

１．どちらのグラフが上にあるかを確かめた上で

２．交点のx座標を求め

３．上から下をひいたものを積分する

する必要があります．この流れは，「入門問題精講数ⅡB」の第7章練習問題16や「基礎問題精講数ⅡB」の例題105および例題106で解説されている通りです．実際に計算する必要がある積分は数Ⅲの指数関数の積分ですが，これ自体は極めて簡単な積分であり，「入門問題精講数Ⅲ」の第6章練習問題16が解けていれば簡単にできる積分でしょう．

(3)は2曲線で囲まれた部分をx軸回りに回転させた時にできる立体の体積を求める問題です．

回転体の体積公式を使うにあたって，以下の２つの問題点を含んでいます．

１．回転軸とまわす図形の間にすき間がある

２．まわす図形が回転軸の両側にまたがっている

この２つの問題点の解決策は「基礎問題精講数Ⅲ」の例題117で以下のように解説されています．

１．とりあえずすき間を含めて回転しておいて，あとですき間をひく

２．回転軸で折り返して図形を片側にまとめた上で，回転させる．

今回の問題においてもこの２つの解決策は有効でした．この問題は計算がめんどくさいため，最後まで答えを出した人は少なかったかもしれませんが，基礎問の解説に従うことで，解答の方針は簡単に書くことができたでしょう．

2. 数学 2022 大問2

早稲田理工数学2022の大問２は数Aの整数に関する設問でした．

早稲田理工数学2

f(x)=0の解をα,βとすると，f(1)=pqという条件は(α-1)(β-1)=pqと書き表すことができます．

１つ目の条件と３つ目の条件からαとβはともに整数解であることが簡単に分かるので，この問題は整数論の問題であり，特に「不定方程式」に関する問題であることがわかります．

(α-1)(β-1)=pqという不定方程式の解き方については，「基礎問題精講数１A」の例題93が参考になります．

この不定方程式は基礎問題精講の問題と違って，右辺がp,qという変数の積で書かれていることに少し戸惑う人もいるかもしれませんが，「ハイレベル数学完全攻略数１A」の問題５で解説されている「x,yは整数でpが素数なら，xy=(pの倍数)のときx,yの少なくとも一方はpの倍数」という素数の性質を思い出せば，解くことができたでしょう．

また「FocusGold数1A」の例題258番では，不定方程式の右辺が素数の積になっている問題が掲載されています．FocusGoldをやっていた人は，FocusGoldでやった通りに解くことで簡単に解答することができたでしょう．

なお(2)は(1)で既に求めてある解が全て異なることさえ確認できれば，あとはその解を足し合わせるだけです．問題文の見かけに戸惑わなければ容易に解答することができたでしょう．

3. 数学 2022 大問3

早稲田理工数学2022の大問3は数Ⅲの極限に関する設問でした．

早稲田理工数学3

(1)は数Bで習った通りに，漸化式を解いて，その極限を求めるだけです．これは「入門問題精講数学Ⅲ」の第２章練習問題６や「基礎問題精講数学Ⅲ」の例題43と全く同じ問題です．

(2)は漸化式で表された数列の大小関係を数学的帰納法を用いて証明する問題です．

a_nに登場するガウス記号の取り扱いが最も大切になってきます．ガウス記号が出てきたらガウス記号を外す必要があります．ガウス記号の外し方の基本は，x-a＜[x]≦xを使うことですが，これについては「基礎問題精講数学ⅠA」の例題96,例題97で解説されています．またx-a＜[x]≦xを用いた問題は，「重要問題集」の問題12や「ハイレベル数学ⅠAⅡBの完全攻略」の問題36にも出てきています．

4. 数学 2022 大問４

早稲田理工数学2022の大問４は初等幾何および数Ⅲの積分に関する設問でした．

早稲田理工数学4

(1)は集合の包助原理に関する問題です．

n=2の場合はV_2をB_1とB_2の和集合として考えることで簡単に解くことができます．またn=3の場合はV_3をB_1とB_2とB_3の和集合として考えることで簡単に解くことができます．

この和集合の考え方（包助原理）は「基礎問題精講数ⅠA」の例題22や「重要問題集」の問題59,問題62や「ハイレベル数学数学ⅠAⅡBの完全攻略」の問題12などで解説されています．

(2)は四角錐に内接する球の体積を求める問題です．今回は内接球の半径さえ出せれば体積は簡単に求められます．

球が内接している問題の解き方は「基礎問題精講数ⅠA」の例題61で説明されています．基礎問題精講では「球が接しているときは，球の中心と接点を含むような平面で切るのが原則」と説明されています．今回の問題でもこの原則通りに，平面で切ってあげることで簡単に球の半径を求めることができます．

また内接球の半径は，体積を利用して求めることもできます．（内接円の半径を求める時と同じように，体積を２通りで表現する．）

体積を利用した内接球の半径の求め方は，「ハイレベル数学ⅠAⅡBの完全攻略」の問題33(P188)で解説されています．今回の問題では，四角錐を二通りで表すことで，内接球の体積を求めることができます．

(3)は2つの球の共通部分の体積を求める問題です．

２つの立体の共通部分は，たとえよくわかっている２つの立体の共通部分であっても，形は複雑になり想像しにくくなります．そのため，立体の断面のみを考えて，断面の面積を積分することで体積を求めていくことになります．

この２つの立体の共通部分の体積の求め方は「入門問題精講数学Ⅲ」の第7章応用問題１や「ハイレベル数学Ⅲの完全攻略」の問題21で解説されています．これらの参考書で解説されている「断面だけを把握する」という考え方や，「交わる前に切る」という考え方が身についていれば，今回の問題の方針も思いついたことでしょう．