コーシー・シュワルツの不等式の使い方を例題を使って解説！

こんにちは！

海老名駅から徒歩7分の武田塾海老名校講師の鈴木です！

今回は，一度は聞いたことがある気がするけど結局覚えられない，覚えても使い所がわからないという人が多い

「コーシー・シュワルツの不等式」について解説したいと思います！

そもそも，コーシー・シュワルツの不等式ってなに？という方や，覚えられない！という方は，

コーシーシュワルツの不等式の証明とその覚え方を解説した記事がありますので，まずはそちらをご覧ください！

コーシー・シュワルツの不等式の証明と覚え方を解説！

上記の記事を読んでいただいた方は，コーシー・シュワルツの不等式を書きなさいと言われたらすぐに書けるようになっていると思います．

では，今回はコーシー・シュワルツの不等式の大学受験での使い方について，実際の過去問を使って紹介したいと思います．

この記事を読んでいただければ，受験数学においてひとつの武器になるコーシー・シュワルツの不等式を使いこなせるようになるはずです！

コーシー・シュワルツの不等式の使い方を例題を使って解説！
コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式の使い方
1. 例題1 早稲田大（2007年）
2. 例題2　東京大（1995年）
まとめ
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コーシー・シュワルツの不等式

まず，コーシー・シュワルツの不等式を復習しましょう．

$\begin{align*} (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \end{align*}$

$\begin{align*} (a_1 b_1 + a_2 b_2+ a_3b_3)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \end{align*}$

という不等式が成り立つ．

等号成立条件は，それぞれ

$\begin{align*} a_1 : a_2 = b_1 : b_2 \end{align*}$

$\begin{align*} a_1 : a_2 : a_3 = b_1 : b_2 :b_3 \end{align*}$

が成り立つことである．

より一般に，

$\begin{align*} (\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n}{a_i}^2)(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^2) \end{align*}$

が成り立つ．

このようになっていましたね，この不等式の使い方について，実際の問題を解きながら解説していきます！

コーシー・シュワルツの不等式の使い方

もう一度コーシー・シュワルツの不等式を見てみましょう．

$\begin{align*} (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \end{align*}$

$\begin{align*} (a_1 b_1 + a_2 b_2+ a_3b_3)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \end{align*}$

この不等式とその等号成立条件は覚えているものとして例題を解いていきましょう．

ここで，aを定数，bを変数としてコーシー・シュワルツの不等式を書き換えておきます．

$(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)$

$(ax+by+cz)^2\le(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

このようにみて使うことが多いです．

例題1 早稲田大（2007年）

実数$x, y, z$の間に$x + 2y + 3z = 7$という関係があるとき，$x^2 + y^2 + z^2$は

$$x = \frac{y}{\Box} = \frac{z}{\Box}$のとき最小値$\frac{\Box}{2}$をとる.$

この問題をコーシー・シュワルツの不等式を使わずに解くとすれば，点と平面の距離の公式を使うのがいいかと思いますが，

今回はその解法は省略して，コーシー・シュワルツの不等式を使う解答を紹介します．

解答

$コーシー・シュワルツの不等式\n $(ax+by+cz)^2\le(a^2+b^2+c^3)(x^2+y^2+z^2)$ $

において，$a=1, b=2, c=3$とすると

$ 
(x+2y+3z)^2=(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2) 
$ 
となる．

ここで，$x+2y+3z=7$であるから，

$$7^2 \le (1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)$

$\therefore \frac{7}{2} \le x^2+y^2+z^2$

$等号成立条件条件は，$x:y:z=a:b:c$すなわち$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$である．$

$よって，$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$のとき，$x^2+y^2+z^2$は最小値$\frac{7}{2}$をとる．$

この問題のように，

$ax+by+cz$

$x^2+y^2+z^2$

の2つの形が出てくる問題では，コーシー・シュワルツの不等式が使えるのではないかと試してみてください！

例題2　東京大（1995年）

$任意の正の実数$x, y$に対して$\sqrt{x} + \sqrt{y} \le k \sqrt{2x+y}$$

が成立するような実数$k$の最小値を求めよ．

この問題は一見コーシー・シュワルツの不等式の形とは異なる気がしますが，

実はコーシー・シュワルツの不等式はルートの和を上から抑えるときに使えます．

解答

$コーシー・シュワルツの不等式$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$

$の両辺の平方根をとって，$a_1b_1+a_2b_2 \le \sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)}$が成り立つ．$

・ここで，右辺を問題の不等式の形に合わせていきます．

$$b_1 = \sqrt{2x}, b_2 = \sqrt{y}$とすると，$

$a_1 \sqrt{2x} + a_2 \sqrt{y} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{2x+y}$

・ここで，左辺を問題の不等式の形に合わせていきます．

$$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, a_2=1$とすると，$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x} + 1 \sqrt{y} \le \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 1^2} \sqrt{2x+y}$

$$\sqrt{x} + \sqrt{y} \le \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}$

$$\sqrt{2x}:\sqrt{y} = \frac{1}{\sqrt{2}}:1$すなわち$y=4x$のとき等号が成立するので， $

$$k$が$\sqrt{\frac{3}{2}}$より小さいときは条件を満たさない． $

$よって求める$k$の値は$\sqrt{\frac{3}{2}}$である． $

まとめ

今回は，コーシー，シュワルツの不等式の使い方を紹介しました．

・2乗の和と一次式を繋ぐ使い方

・ルートの和を上から抑える使い方

の2つを覚えておきましょう！

基本的な使い方を身につけておけば，不等式の証明問題や最大値・最小値を求める問題で使えることがあると思います．

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今回は受験で使えるテクニックとして，有名不等式である「コーシー・シュワルツの不等式」を解説しましたが

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